Teoremele Pappus-Guldin

Teoremele Papp-Guldin sunt două teoreme despre corpurile de revoluție care leagă aria și volumul lor cu circumferința descrisă de baricentrul . Formulat de Pappus din Alexandria (nu a oferit dovezi). Prima dovadă cunoscută se datorează lui Paul Guldin ( 1640 ) [1] .

Prima teoremă Pappus-Guldin (pe zona unei suprafețe de revoluție)

Suprafața unui corp formată prin rotația unei linii plate (închise sau deschise) în jurul unei axe care se află în planul acestei linii și nu o intersectează este egală cu produsul lungimii liniei de rotație și lungimea cercului, a cărui rază este distanța de la axă la baricentrul dreptei [2] [3] .

A doua teoremă a lui Pappus-Guldin (asupra volumului unui corp de revoluție)

Volumul unui corp format prin rotirea unei figuri plate în jurul unei axe situate în același plan și care nu intersectează figura este egal cu aria figurii înmulțită cu lungimea cercului, a cărui rază este distanța de la axa de rotație până la baricentrul figurii [2] [4] .

Dovada

Lema

Fie mai multe puncte materiale de aceeași masă să fie situate în plan pe o parte a dreptei. Apoi centrul de greutate al acestui sistem de puncte este îndepărtat de pe linie cu o distanță egală cu media aritmetică a distanțelor acestor puncte față de linie . $l$ $l$

Demonstrație : Să demonstrăm lema prin inducție matematică. Să notăm numărul de puncte cu , punctele în sine cu , , …, , masa fiecărui punct cu , iar distanțele punctelor față de linia dreaptă cu , , …, . $n$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$

Pentru , afirmația lemei este evidentă. Să fie lema adevărată pentru un punct. Apoi centrul lor de greutate este la distanță $n=1$ $n-1$ $P$

r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}

Să înlocuim sistemul de puncte materiale , , … cu un punct , concentrând în el o masă egală cu . Rămâne de găsit centrul de greutate a două puncte materiale și . Deoarece un punct are o masă și un punct are o masă , atunci $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n-1)$ $P$ $(n-1)m$ $O$ $P$ $M_{n}$ $P$ $(n-1)m$ $M_{n}$ $m$

PO:OM_{n}=1:(n-1)

Prin urmare, dacă este distanța de la un punct la o linie dreaptă (Fig. 1), atunci $r^{*}$ $O$

(rr^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)

Unde

r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{ n-1}+r_{n}}{n}}

Astfel, afirmația lemei este valabilă pentru punctele materiale. $n$

Dovada primei teoreme Papp-Guldin

În primul rând, vom demonstra că această teoremă este adevărată dacă curba la care se face referire în teoremă este o polilinie legată , în care toate legăturile au aceeași lungime . Notăm punctele medii ale legăturilor poliliniei ca , , …, , iar distanțele de la aceste puncte la linia dreaptă ca , , …, . Când polilinia luată în considerare este rotită în jurul unei linii drepte , se obține o suprafață, formată din părți, fiecare dintre acestea fiind o suprafață laterală a unui trunchi de con. Deoarece suprafața laterală a trunchiului de con este egală cu produsul dintre lungimea generatricei și lungimea circumferinței secțiunii medii, aria figurii de revoluție rezultată este egală cu $n$ $m$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$ $l$ $n$

S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n)

Observând că lungimea poliliniei considerate este , putem rescrie expresia pentru zonă $P=mn$

S=P\cdot 2\pi R

Unde

R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}

dar centrul de greutate al liniei întrerupte, adică centrul de greutate al punctelor , , …, , în fiecare dintre care este concentrată masa , conform lemei, este separat de linie dreaptă la o distanță . Aceasta înseamnă că în cazul particular luat în considerare prima teoremă Papp-Guldin este valabilă. $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $R$

Acum luați în considerare o linie arbitrară , a cărei rotație, atunci când este rotită în jurul axei , produce o suprafață . Scriem în el o linie întreruptă care conține link-uri. La rotirea în jurul axei , obținem o suprafață a cărei zonă este egală cu , unde este lungimea poliliniei și este distanța de la centrul de greutate al poliliniei până la axa de rotație . $K$ $l$ $Q$ $L$ $m$ $L$ $l$ $T$ $S=P\cdot 2\pi R$ $P$ $L$ $R$ $L$ $l$

Dacă numărăm , atunci lungimea poliliniei va tinde spre lungimea liniei , aria suprafeței va tinde spre aria suprafeței , centrul de greutate al poliliniei va tinde spre centrul de greutate al curbei . Deoarece pentru orice relația este valabilă pentru , trecând apoi la limită , constatăm că este valabilă și pentru curbă . $m\la 0$ $L$ $K$ $T$ $Q$ $L$ $K$ $m$ $S=P\cdot 2\pi R$ $L$ $m\la 0$ $K$

Note

↑ Glaser, 1983 , p. 176.
↑ 1 2 Glaser, 1983 , p. 177.
↑ Fikhtengolts, vol. II, 1969 , p. 229.
↑ Fikhtengolts, vol. II, 1969 , p. 232.

Literatură

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele IX-X. - M . : Educaţie, 1983. - 351 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. T. II. a 7-a ed. - M. : Nauka, 1969. - 800 p.