Suprafață

Suprafața este ocaracteristică numerică aditivă a suprafeței .

Definiții

În toate definițiile de zonă, clasa de suprafețe pentru care este definită este mai întâi descrisă. Cel mai simplu mod este de a determina aria suprafețelor poliedrice : ca suma suprafețelor fețelor lor plate. Cu toate acestea, clasa suprafețelor poliedrice nu este suficient de largă pentru majoritatea aplicațiilor.

Cel mai adesea, aria suprafeței este definită pentru clasa suprafețelor netede pe bucăți cu o margine netedă pe bucăți. Acest lucru se poate realiza folosind următoarea construcție: Suprafața este împărțită în părți cu margini netede pe bucăți: pentru fiecare parte, este selectat un plan și piesa luată în considerare este proiectată ortogonal pe aceasta; se rezumă aria proiecțiilor plane obținute. Aria suprafeței în sine este definită ca limita superioară exactă a unor astfel de sume.

Dacă o suprafață din spațiul euclidian este dată de o funcție parametrică netedă pe bucăți , în care parametrii se modifică într-o regiune din plan , atunci aria poate fi exprimată printr-o integrală dublă $C^1$ $r(u,v)$ $u$ $v$ $D$ $(u,v)$ $S$

S=\iint \limits _{D}|r_{u}\times r_{v}|\cdot du\cdot dv,

unde denotă produsul vectorial, a și sunt derivate parțiale în raport cu și . $\times$ $r_{u}$ $r_{v}$ $u$ $v$

Această integrală poate fi rescrisă după cum urmează:

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det g_{{ij}}}}dudv

unde , , și de asemenea $g_{{11}}=|r_{u}|^{2}$ $g_{{12}}=\langle r_{u},r_{v}\rangle$ $g_{{22}}=|r_{v}|^{2}$

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det(J_{r}^{\mathrm {T}}\cdot J_{r)))))dudv

unde denotă matricea Jacobi a mapării . $J_{r}$ $(u,v)\mapsto r(u,v)$

Comentarii

În special, dacă suprafața este graficul unei funcții netede peste un domeniu din plan , atunci $C^1$ $z=f(x,y)$ $D$ $(X y)$ $S=\iint \limits _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$
- Din aceste formule se derivă formule binecunoscute pentru aria unei sfere și părțile acesteia, sunt fundamentate metode pentru calcularea ariei suprafețelor de revoluție etc.
Pentru suprafețele netede bidimensionale în bucăți în varietățile Riemanniene , această formulă servește ca o definiție a zonei, în timp ce rolul lui , și este jucat de componentele tensorului metric al suprafeței în sine. $g_{{11}}$ $g_{12}=g_{21}$ $g_{{22}}$

O încercare de a introduce conceptul zonei suprafețelor curbate ca limită a zonelor suprafețelor poliedrice înscrise (la fel cum lungimea unei curbe este definită ca limită a liniilor poligonale înscrise) întâmpină dificultăți. Chiar și pentru o suprafață curbă foarte simplă, aria poliedrelor înscrise în ea cu fețe progresiv mai mici poate avea limite diferite în funcție de alegerea secvenței de poliedre. Acest lucru este demonstrat în mod clar de un exemplu binecunoscut, așa-numita cizmă Schwartz , în care sunt construite secvențe de poliedre inscripționate cu limite de suprafață diferite pentru suprafața laterală a unui cilindru circular drept.
- Cu toate acestea, aria unei suprafețe convexe închise este egală cu cea mai mică limită superioară a ariilor suprafețelor poliedrice convexe înscrise în ea.

Proprietăți

Aria suprafeței încorporate coincide cu măsura bidimensională Hausdorff a imaginii sale.
Aria unei suprafețe încorporate în spațiul euclidian tridimensional coincide cu capacitatea Minkowski a codimensiunii 1 a imaginii sale.

Vezi și

Literatură

Dubrovsky V. N. În căutarea determinării suprafeței Copie de arhivă din 27 iunie 2017 la Wayback Machine // Kvant . - 1978. - Nr 5. - S. 31-34.

Dubrovsky V.N. Suprafață conform copiei de arhivă Minkowski din 15 februarie 2017 la Wayback Machine // Kvant . - 1979. - Nr 4. - S. 33-35.

Merzon G. A., Yashchenko I. V. Lungime, suprafață, volum. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .