Identități Firtz

Identitățile Firtz sunt identități de algebră liniară care conectează diverse expresii sub formă de produse ale matricelor Pauli , matricelor Gell-Mann și matricelor Dirac , care diferă unele de altele printr-o permutare a indicilor. Folosit în fizica teoretică.

Identități Firtz pentru matrice Pauli

\delta _{b}^{a}\delta _{d}^{c}={\frac {1}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b} ^{c}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}

\mathbf {\sigma } _{b}^{a}\mathbf {\sigma } _{d}^{c}={\frac {3}{2}}\delta _{d}^{ a}\delta _{b}^{c}-{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c }

Aici și mai jos sunt matricele Pauli , este simbolul Kronecker , [1] . $\sigma _{i)$ $\delta _{b}^{a)$ $\mathbf {\sigma} \mathbf {\sigma} =\sigma _{i}\sigma _{i}, i=1,2,3$

Identități Firtz pentru matrice Gell-Mann

{\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3)}\delta _{\delta }^{\alpha } \delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2))\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta } ^{\gamma ))

{\displaystyle \mathbf {\lambda } _{\beta }^{\alpha }\mathbf {\lambda} _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9)}\delta _{ \delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf { \lambda } _{\beta }^{\gamma ))

Aici și mai jos sunt matricele Gell-Mann , [2] . $\lambda _{\delta }$ $\mathbf {\lambda } \mathbf {\lambda } =\lambda _{i}\lambda _{i},i=1,2,3,...8$

Identități Firtz pentru matrice Dirac

({\bar {a}}O_{i}b)({\bar {c}}O^{i}d)=\sum _{k}C_{ik}({\bar {a} }O_{k}d)({\bar {c}}O^{k}b)

Aici matricea poate fi unul dintre cele cinci tipuri [3] : $O$ $(S,V,T,A,P)$

O_{S}=\mathbf {1}

,

O_{V}=\gamma _{\alpha )

,

O_{T}={\frac {\sigma _{\alpha \beta}}{\sqrt {2)}}

,

O_{A}=\gamma _{5}\gamma _{\alpha )

,

O_{P}=\gamma _{5)

,

unde sunt matricele Dirac $\gamma _{\alpha }$

Matricea se numește matrice Firtz . $C_{ik}$

matricea Firtz

Muncă	S	V	T	A	P
S×S=	1/4	1/4	-1/4	-1/4	1/4
V×V=	unu	-1/2	0	-1/2	-unu
T×T=	-3/2	0	-1/2	0	-3/2
A×A=	-unu	-1/2	0	-1/2	unu
P×P=	1/4	-1/4	-1/4	1/4	1/4

Vezi și

Note

↑ Okun, 2005 , p. 270.
↑ Okun, 2005 , p. 271.
↑ Okun, 2005 , p. 276-277.

Literatură

Okun' LB Leptoni și quarcuri. - M. : Editorial URSS, 2005. - 352 p. — ISBN 5-354-01084-5 .