Entropia topologică

Entropia topologică este un număr real nenegativ în teoria sistemelor dinamice , care este o măsură a complexității unui sistem.

Definiție

Să fie dată o mapare continuă T a unei mulțimi metrice compacte (X,d) în sine. Apoi metrica pe X este definită ca $d_{n}$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

cu alte cuvinte, este distanța maximă pe care orbitele lui x și y diverg în n iterații. În plus, pentru o anumită mulțime, spunem că o mulțime este separată dacă distanțele perechi dintre punctele sale nu sunt mai mici decât , iar cardinalitatea celei mai mari astfel de mulțimi este notată cu . Atunci entropia topologică a mapării T este limita dublă $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon).

Aceeași valoare poate fi definită diferit: dacă notăm prin puterea celei mai mici rețele, atunci $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon).

Echivalența acestor definiții este ușor de dedus din inegalități.Este de remarcat faptul că ambele definiții formalizează următorul concept non-strict: pentru un punct de plecare necunoscut, câtă informație trebuie obținută pe iterație pentru a prezice un număr mare de definiții. iterații cu o mică eroare fixă. $N(n,\varepsilon)\leq M(n,\varepsilon)\leq N(n,\varepsilon /2).$

Literatură

Adler, R. L.; Konheim, Allan G.; McAndrew, MH Entropia topologică // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1965. - Vol. 114 . - P. 309-319 .
Dmitri Anosov (2001), „T/t093040”, în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Walter, Peter. O introducere în teoria ergodică (neopr.) . - Springer-Verlag , 1982. - Vol. 79. - ( Texte de absolvent în matematică ). - ISBN 0-387-95152-0 .