Sistem dinamic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 iunie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Un sistem dinamic este un set de elemente pentru care este specificată o relație funcțională între timp și poziție în spațiul fazelor fiecărui element al sistemului. Această abstractizare matematică vă permite să studiați și să descrieți evoluția sistemelor în timp.

Starea unui sistem dinamic în orice moment de timp este descrisă de un set de numere reale (sau vectori) corespunzător unui anumit punct din spațiul stărilor . Evoluția unui sistem dinamic este determinată de o funcție deterministă , adică după un interval de timp dat, sistemul va lua o anumită stare, în funcție de cea actuală.

Introducere

Un sistem dinamic este un model matematic al unui obiect, proces sau fenomen în care „fluctuațiile și toate celelalte fenomene statistice” sunt neglijate. [unu]

Un sistem dinamic poate fi reprezentat și ca un sistem cu stare . Prin această abordare, sistemul dinamic descrie (în ansamblu) dinamica unui proces, și anume: procesul de tranziție a sistemului de la o stare la alta. Spațiul de fază al unui sistem este totalitatea tuturor stărilor admisibile ale unui sistem dinamic. Astfel, un sistem dinamic se caracterizează prin starea sa inițială și legea prin care sistemul trece din starea inițială în alta.

Distingeți între sistemele cu timp discret și sistemele cu timp continuu .

În sistemele cu timp discret, numite în mod tradițional cascade , comportamentul sistemului (sau, echivalent, traiectoria sistemului în spațiul fazelor) este descris printr-o succesiune de stări. În sistemele în timp continuu, numite în mod tradițional fluxuri , starea sistemului este definită pentru fiecare punct în timp pe axa reală sau complexă. Cascadele și fluxurile sunt subiectul principal de considerare în dinamica simbolică și topologică .

Un sistem dinamic (cu timp discret și continuu) este adesea descris de un sistem autonom de ecuații diferențiale , dat într-un anumit domeniu și care satisface acolo condițiile teoremei de existență și unicitatea soluției ecuației diferențiale. Pozițiile de echilibru ale sistemului dinamic corespund punctelor singulare ale ecuației diferențiale, iar curbele de fază închisă corespund soluțiilor sale periodice.

Conținutul principal al teoriei sistemelor dinamice este studiul curbelor definite prin ecuații diferențiale . Aceasta include împărțirea spațiului de fază în traiectorii și studiul comportamentului limitativ al acestor traiectorii: căutarea și clasificarea pozițiilor de echilibru, selectarea seturilor (variete) atrăgătoare ( atractoare ) și respingătoare ( repeller ). Cele mai importante concepte ale teoriei sistemelor dinamice sunt stabilitatea stărilor de echilibru (adică capacitatea unui sistem, cu mici modificări ale condițiilor inițiale, de a rămâne pentru un timp arbitrar lung lângă poziția de echilibru sau pe o varietate dată) și rugozitatea (adică, păstrarea proprietăților cu mici modificări în modelul matematic în sine; „ Un sistem brut este unul al cărui caracter calitativ al mișcării nu se modifică cu o modificare suficient de mică a parametrilor. [2] [1]

Implicarea reprezentărilor probabilistic-statistice în teoria ergodică a sistemelor dinamice conduce la conceptul de sistem dinamic cu măsură invariantă .

Teoria modernă a sistemelor dinamice este un nume colectiv pentru studiile în care metodele din diferite ramuri ale matematicii sunt utilizate pe scară largă și combinate eficient: topologie și algebră, geometrie algebrică și teoria măsurării, teoria formelor diferențiale, teoria singularităților și a catastrofelor.

Metodele teoriei sistemelor dinamice sunt solicitate în alte ramuri ale științelor naturale, cum ar fi termodinamica de neechilibru , teoria haosului dinamic , sinergetica .

Definiție

Fie o varietate netedă arbitrară . $X$

Un sistem dinamic definit pe o varietate netedă este o mapare scrisă în forma parametrică , unde , care este o mapare diferențiabilă și este maparea identică a spațiului . În cazul sistemelor staționare reversibile, familia cu un parametru formează un grup de transformări ale spațiului topologic , ceea ce înseamnă că, în special, identitatea este valabilă pentru orice . $X$ $g\colon \mathbb {R} \times X\to X$ $g^{{t}}(x)$ $t\in \mathbb {R} ,x\in X$ $g^{0}$ $X$ $\{g^{t}:t\in \mathbb {R} \)$ $X$ $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ $g^{{t_{1}}}\circ g^{{t_{2}}}=g^{{t_{1}+t_{2}}}$

Din diferențiabilitatea mapării rezultă că funcția este o funcție diferențiabilă a timpului, graficul ei este situat în spațiul de fază extins și se numește traiectoria integrală (curba) a sistemului dinamic. Proiecția sa în spațiu , care se numește spațiu de fază , se numește traiectoria de fază (curba) a unui sistem dinamic. $g$ $g^{{t}}(x_{0})$ $\mathbb {R} \times X$ $X$

Specificarea unui sistem dinamic staționar este echivalentă cu împărțirea spațiului de fază în traiectorii de fază. Specificarea unui sistem dinamic este, în general, echivalentă cu împărțirea spațiului de fază extins în traiectorii integrale.

O schimbare de coordonate este un difeomorfism (dacă structura este netedă) sau un homeomorfism (din punct de vedere topologic) al spațiilor de fază. Este posibil să se definească un set de echivalență între sisteme dinamice care sunt asociate cu diferite clase de coordonate. Problema structurii orbitelor în acest caz poate fi înțeleasă ca o problemă de clasificare a sistemelor dinamice până la relații de echivalență.

Metode de definire a sistemelor dinamice

Pentru a defini un sistem dinamic, este necesar să se descrie spațiul său de fază , un set de puncte de timp și o regulă care descrie mișcarea punctelor în spațiul fazelor cu timpul. Mulțimea momentelor de timp poate fi fie un interval al unei linii reale (atunci se spune că timpul este continuu ), fie o mulțime de numere întregi sau naturale ( timp discret ). În al doilea caz, „mișcarea” unui punct din spațiul fazelor este mai mult ca „sărituri” instantanee de la un punct la altul: traiectoria unui astfel de sistem nu este o curbă lină, ci pur și simplu un set de puncte și este de obicei numită o orbită . Cu toate acestea, în ciuda diferenței externe, există o relație strânsă între sistemele cu timp continuu și discret: multe proprietăți sunt comune acestor clase de sisteme sau sunt ușor de transferat de la unul la altul. $X$ $T$ $T$

Fluxuri de fază

Fie ca spațiul fazelor să fie un spațiu multidimensional sau o regiune în el, iar timpul să fie continuu. Să presupunem că știm viteza cu care se mișcă fiecare punct al spațiului fazelor. Cu alte cuvinte, funcția vector viteză este cunoscută . Atunci traiectoria punctului va fi soluția ecuației diferențiale autonome cu condiția inițială . Sistemul dinamic definit în acest fel se numește flux de fază pentru o ecuație diferențială autonomă. $X$ $X$ $v(x)$ $x_{0}\în X$ ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ $x(0)=x_{0}$

Cascade

Să fie o mulțime arbitrară și să fie o mapare a mulțimii pe sine. Luați în considerare iterațiile acestei mapări, adică rezultatele aplicării sale repetate la puncte din spațiul fazelor. Ei definesc un sistem dinamic cu un spațiu de fază și multe momente de timp . Într-adevăr, vom presupune că un punct arbitrar trece într-un punct în timp . Apoi, în timp, acest punct se va muta la un punct și așa mai departe. $X$ $f\coloan X\la X$ $X$ $X$ $T={\mathbb N}$ $x_{0}\în X$ $unu$ $x_{1}=f(x_{0})\în X$ $2$ $x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))$

Dacă maparea este reversibilă, este posibil să se definească iterații inverse : , etc. Astfel, obținem un sistem cu un set de puncte de timp . $f$ $x_{{-1}}=f^{{-1}}(x_{0})$ $x_{{-2}}=f^{{-1}}(f^{{-1}}(x_{0}))$ $T={\mathbb Z}$

Exemple

Sistem de ecuații diferențiale

{\begin{cazuri}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cazuri}}

definește un sistem dinamic cu timp continuu, numit „oscilator armonic”. Spațiul său de fază este planul , unde este viteza punctului . Oscilatorul armonic modelează diferite procese oscilatorii, de exemplu, comportamentul unei sarcini pe un arc. Curbele de fază sunt elipse centrate la zero. $(x,v)$ $v$ $X$

Fie un unghi care specifică poziția unui punct pe cercul unitar. Maparea de dublare definește un sistem dinamic în timp discret al cărui spațiu de fază este un cerc. $\varphi$ $f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}$
Sistemele rapid-lent descriu procese care se dezvoltă simultan pe mai multe scale de timp.
Sistemele dinamice ale căror ecuații pot fi obținute prin principiul celei mai mici acțiuni pentru un Lagrangian ales convenabil sunt cunoscute sub denumirea de „sisteme dinamice lagrangiene”.

Întrebări ale teoriei sistemelor dinamice

Având o anumită sarcină a unui sistem dinamic, este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim și să descriem traiectoriile sale într-o formă explicită. Prin urmare, sunt de obicei luate în considerare întrebări mai simple (dar nu mai puțin semnificative) despre comportamentul general al sistemului. De exemplu:

Are sistemul curbe de fază închise, adică poate reveni la starea inițială în cursul evoluției?
Cum sunt aranjate varietățile invariante ale sistemului (un caz special al cărora sunt traiectorii închise)?
Cum funcționează atractorul sistemului, adică setul din spațiul fazelor, spre care tind să se îndrepte „majoritatea” traiectoriilor?
Cum se comportă traiectorii trase din puncte apropiate - rămân aproape sau se îndepărtează în timp la o distanță considerabilă?
Ce se poate spune despre comportamentul unui sistem dinamic „tipic” dintr-o anumită clasă?
Ce se poate spune despre comportamentul sistemelor dinamice „apropiate” de cel dat?

Vezi și

Note

↑ 1 2 Andronov, 1981 , p. 18-19.
↑ Andronov, 1955 , p. 3-19.

Literatură

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoria oscilațiilor. - Ed. a II-a, revizuită. și corectat.- M . : Nauka, 1981. - 918 p.
În memoria lui Alexandru Alexandrovici Andronov . - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1955.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. , Podlazov A. V. Dinamica neliniară: abordări, rezultate, speranțe . — M .: URSS, 2006.
ed. Anosov DV Sisteme dinamice netede. — M .: Mir, 1977. — 256 p.
Evlanov LG Controlul sistemelor dinamice. - M. : Nauka, 1972. - 423 p. - 4800 de exemplare.
Birkhoff J. Sisteme dinamice. - M. : OGIZ, 1999. - 480 p. - 3500 de exemplare. — ISBN 5-7029-0356-0 .

Gukenheimer J., Holmes F. Oscilații neliniare, sisteme dinamice și bifurcații ale câmpurilor vectoriale - 2002. - 560 p. — ISBN 5-93972-200-8 .

Palis J., di Melu V. Teoria geometrică a sistemelor dinamice: Introducere. - Mir, 1986. - 301 p.
Șase prelegeri despre teoria sistemelor dinamice neliniare / N.V. Karlov , N.A. Kirichenko . MIPT, [1998?]. - 178 p. : bolnav.; 30 cm; ISBN 5-7417-0096-9

Link -uri

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .