Punctul Steiner

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 octombrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

punctul Steiner

Numit după	Jacob Steiner
Fișiere media la Wikimedia Commons

Punctul Steiner este unul dintre punctele triunghiulare mari [1] și este denumit punctul X(99) în Enciclopedia centrelor triunghiulare a lui Clark Kimberling .

Istorie

Jakob Steiner (1796–1863), un matematician elvețian, a descris acest punct în 1826. Acest punct a fost numit Steiner de către Joseph Neuberg în 1886 [1] [2] .

Definiție

Punctul Steiner este definit după cum urmează. (Folosim o metodă diferită decât a definit-o Steiner însuși în acest punct. [1] )

Fie dat orice triunghi . Fie centrul cercului circumscris și punctul de intersecție al simedianelor . Cercul , construit ca pe diametru, este cercul Brocard al triunghiului . O dreaptă care trece prin perpendicular pe linie intersectează cercul Brocard în alt punct . O dreaptă care trece prin perpendicular pe linie intersectează cercul Brocard în alt punct . O linie care trece prin perpendiculară pe linie intersectează cercul Brocard în alt punct (triunghiul este triunghiul Brocard pentru triunghi ). Să fie o linie care trece printr-o linie paralelă cu o dreaptă , o linie care trece printr-o linie paralelă cu o dreaptă și o linie care trece printr-o linie paralelă cu o dreaptă . Apoi toate cele trei linii și se intersectează într-un punct. Punctul de intersecție a acestora este punctul Steiner al triunghiului .

ABC

O

K

O.K

ABC

O

î.Hr

A'

O

CA

B'

O

AB

C'

A'B'C'

ABC

L_{A}

A

B'C'

L_{B}

B

C'A'

L_{C}

C

A'B'

L_{A}

L_{B}

L_{C}

ABC

Coordonate triliniare

Coordonatele triliniare ale punctului Steiner sunt

\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\ frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatorname {cosec} (BC):c^{2}a^{ 2}\operatorname {cosec} (CA):a^{2}b^{2}\operatorname {cosec} (AB))

Proprietăți

Elipsa circumscrisă în jurul unui triunghi , numită și elipsa Steiner , este cea mai mică elipsă cu zonă care trece prin vârfuri și . Punctul Steiner al triunghiului se află pe elipsa Steiner circumscrisă în jurul triunghiului . $ABC$ $A$ $B$ $C$ $ABC$ $ABC$
Honsberger a stabilit următoarea proprietate a punctului Steiner : Punctul Steiner al unui triunghi este centrul de masă al sistemului obținut prin suspendarea la fiecare vârf a unei mase egale cu unghiul extern la acel vârf. [3]
Punctul Steiner nu are această proprietate. Centrul de masă al sistemului obţinut prin suspendarea la fiecare vârf al triunghiului a unei mase egale cu valoarea unghiului exterior la acel vârf nu este un punct Steiner . Acest centru de masă se numește centrul de curbură Steiner al triunghiului și are coordonate triliniare [4] : $ABC$ $ABC$

\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)

Acest centru triunghiular este denumit X(1115) în Encyclopedia of Triangle Centers .

Linia Simson a punctului Steiner al triunghiului este paralelă cu dreapta , unde este centrul cercului circumscris și este punctul de intersecție a trei simedianele ( punctul Lemoine ) ale triunghiului . $ABC$ $O.K$ $O$ $K$ $ABC$

Tarry Point

Punctul Tarry al triunghiului este strâns legat de punctul Steiner al triunghiului. Fie orice triunghi dat. Un punct de pe cercul circumferitor al unui triunghi care este diametral opus punctului Steiner al triunghiului se numește punctul Tarry al triunghiului . Punctul Tarry reprezintă centrul triunghiului și este desemnat ca centru X(98) în Encyclopedia of Triangle Centers . Coordonatele triliniare ale punctului Tarry sunt $ABC$ $ABC$ $ABC$

(\operatorname {sec} (A+\omega):\operatorname {sec} (B+\omega):\operatorname {sec} (C+\omega ))

unde este unghiul Brocard al triunghiului . $\omega$ $ABC$

Note

↑ 1 2 3 Kimberling, punctul Clark Steiner . Preluat: 17 mai 2012. (nedefinit)
↑ J. Neuberg. Sur le point de Steiner (neopr.) // Journal de mathématiques spéciales. - 1886. - S. 29 .
↑ Honsberger, Ross. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea (engleză) . - The Mathematical Association of America, 1965. - P. 119-124.
↑ Eric W., Weisstein Steiner Curvature Centroid . MathWorld—A Wolfram Web Resource. Recuperat la 17 mai 2012. (nedefinit)

Vezi și

Centrul Steiner este centrul de greutate al curburii gaussiene a suprafeței unui corp convex.