Linia dreaptă a lui Simson

Linia lui Simson este o linie dreaptă care trece prin bazele perpendicularelor pe laturile unui triunghi dintr-un punct din cercul său circumscris. Existența sa se bazează pe teorema lui Simson .

Teorema lui Simson

Bazele perpendicularelor căzute dintr-un punct arbitrar al cercului circumscris triunghiului la laturile sale sau prelungirile lor se află pe aceeași linie dreaptă. Această linie se numește linia lui Simson [1] . $P$ $ABC$

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă bazele perpendicularelor, coborâte dintr-un punct spre laturile triunghiului sau prelungirile lor, se află pe aceeași dreaptă, atunci punctul se află pe cercul circumscris triunghiului. $P$ $ABC$ $P$

Istorie

Descoperirea acestei linii a fost mult timp atribuită lui Robert Simson (1687-1768), dar în realitate a fost descoperită abia în 1797 de matematicianul scoțian William Wallace . Prin urmare, alături de denumirea tradițională a acestei linii drepte, este adesea folosit numele istoric mai just: „linia dreaptă a lui Wallace” . [2]

Proprietăți

Fie ortocentrul triunghiului . _ Apoi linia Simson a unui punct arbitrar de pe cercul circumscris triunghiului traversează segmentul într-un punct situat pe cercul de nouă puncte . $H$ $ABC$ $P$ $ABC$ $PH$

Dacă P și Q sunt puncte ale cercului circumscris, atunci unghiul dintre liniile Simson ale punctelor P și Q este egal cu jumătate din unghiul arcului PQ .
- În special, dacă 2 puncte de pe cercul circumscris sunt diametral opuse, liniile lor Simson sunt perpendiculare, caz în care punctul de intersecție a 2 drepte Simson perpendiculare se află și pe cercul cu nouă puncte . În acest caz, al doilea punct de intersecție a 2 linii perpendiculare ale lui Simson cu un cerc de nouă puncte vor fi capetele diametrului ultimului cerc.

Pentru două triunghiuri date cu același cerc circumscris, unghiul dintre liniile lui Simson ale punctului P de pe cerc pentru ambele triunghiuri este independent de P .

Linia lui Simson și triunghiul lui Morley

Există exact trei puncte pe cercul circumferitor al triunghiului, astfel încât linia lor Simson este tangentă la cercul Euler al triunghiului , iar aceste puncte formează un triunghi regulat . Laturile acestui triunghi sunt paralele cu laturile triunghiului lui Morley . $ABC$ $ABC$

Linia lui Simson și linia lui Steiner

Punctele simetrice față de punctul P de pe cercul circumscris față de laturile triunghiului se află pe aceeași dreaptă care trece prin ortocentru. Această linie (linia Steiner ) este paralelă cu linia Simson și trece în ea sub homotezie cu coeficient 1/2.

Linia lui Simson și punctul lui Feuerbach

Punctul Feuerbach , adică punctul de tangență al cercului sau al cercului cu cercul de nouă puncte, este punctul de intersecție a două drepte Simson construite pentru capetele diametrului cercului circumferitor care trece prin centrul corespunzător al cercului sau al cercului înscris. [3] .
- În special, punctele Feuerbach pot fi construite fără a utiliza cercul sau excercul corespunzător și cercul Euler tangent la acesta .

Linia lui Simson și deltoid

Anvelopa familiei Simson de linii ale unui triunghi dat este un deltoid - așa-numitul deltoid Steiner .
- Jacob Steiner a descoperit deltoidul ca un hipocicloid parțial , care este descris de un punct fix arbitrar al unui cerc care se rostogolește fără alunecare în interiorul unui cerc de 3 ori mai mare în diametru. Iar faptul că mulțimea tuturor liniilor Simson posibile care pot fi trasate pentru un triunghi dat au un plic sub formă de deltoid a fost descoperit acum aproximativ 100 de ani și deloc de Steiner [4] .

Linia lui Simson și ortopolul

Dacă ortopolul se află pe linia Simson, atunci linia sa ℓ este perpendiculară pe aceasta [5] .
Dacă linia ℓ a ortopolului intersectează cercul circumferitor al triunghiului în două puncte P și Q , atunci ortopolul însuși se află la intersecția celor două drepte Simson ale ultimelor două puncte P și Q. [6]
Dacă linia ℓ a ortopolului este linia Simson a punctului P , atunci punctul P se numește polul dreptei Simson ℓ [5]

Ecuația lui Simson în linie dreaptă

Punând triunghiul pe plan complex, să presupunem că triunghiul ABC este înscris în cercul unitar și are vârfuri ale căror coordonate complexe sunt a , b , c , și fie P cu coordonata complexă p un punct pe cerc. Apoi linia Simson este descrisă de următoarea ecuație pe z : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

unde overbar indică conjugarea complexă .

Variații și generalizări

Niciun poligon convex cu cel puțin 5 laturi nu are o linie Simson. [opt]
Dacă sunt trase drepte dintr-un punct dat al cercului circumscris unui triunghi la un unghi dat orientat față de laturi, atunci cele trei puncte de intersecție obținute se vor afla pe o singură dreaptă. $P$ $ABC$
Linia lui Simson poate fi definită pentru orice -gon înscris prin inducție, după cum urmează: Linia lui Simson a unui punct în raport cu un -gon dat este linia dreaptă care conține proiecțiile punctului pe liniile lui Simson ale tuturor -gonurilor obținute prin eliminarea unui vârf de -gonul . $n$ $P$ $n$ $P$ $(n-1)$ $n$
Teorema lui Salmon
Triunghi Poder - un triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele perpendicularelor căzute dintr-un punct spre laturile triunghiului; în cazul în care punctul se află pe cercul circumscris, triunghiul subdermic degenerează și vârfurile sale se află pe linia Simson.

Fie ABC un triunghi, iar linia ℓ (verde în figură) să treacă prin centrul X 3 al cercului circumscris, iar punctul P să se afle pe cerc. Fie AP, BP, CP intersectează dreapta ℓ în punctele A p , B p , C p , respectiv . Fie A 0 , B 0 , C 0 proiecțiile punctelor A p , B p , C p respectiv pe liniile BC, CA, AB . Atunci 3 puncte A 0 , B 0 , C 0 sunt puncte coliniare , adică se află pe o singură dreaptă. În plus, linia care trece prin ele trece simultan prin punctul mijlociu al segmentului PH , unde H este ortocentrul triunghiului ABC . Dacă ℓ trece prin P , atunci linia va coincide cu linia lui Simson. [9] [10] [11]

Exemple

Linia Simson a punctului Steiner al triunghiului este paralelă cu dreapta , iar linia Simson a punctului Tarry este perpendiculară pe dreapta , unde este centrul cercului circumscris și este punctul de intersecție a trei simediani ( punctul Lemoine ) a triunghiului . $ABC$ $O.K$ $O.K$ $O$ $K$ $ABC$

Note

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. - M .: Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca cercului matematic).
↑ Gibson History 7 - Robert Simson (30 ianuarie 2008). Preluat la 2 octombrie 2019. Arhivat din original la 9 octombrie 2016. (nedefinit)
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observație. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 The Orthopole (21 ianuarie 2017). Preluat la 22 iunie 2020. Arhivat din original la 22 iunie 2020. (nedefinit)
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. (Paragraf: G. Ortopolul. Item. 697. Teorema. Fig. 155. P.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Todor Zaharinov, „Triunghiul Simson și proprietățile sale”, Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Arhivat 7 octombrie 2020 la Wayback Machine
↑ Tsukerman, Emmanuel. Despre poligoane care admit o linie Simson ca analogi discreti ale parabolelor // Forum Geometricorum : jurnal. - 2013. - Vol. 13 . - P. 197-208 .
↑ O generalizare a liniei Simson . Cut-the-knot (aprilie 2015). Preluat la 2 octombrie 2019. Arhivat din original la 28 august 2019. (nedefinit)
↑ Nguyen Van Linh (2016), O altă dovadă sintetică a generalizării lui Dao a teoremei liniei Simson , Forum Geometricorum vol . 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Arhivat din decembrie. 22, 2018 la Wayback Machine
↑ Nguyen Le Phuoc și Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 O dovadă sintetică a generalizării lui Dao a teoremei liniei Simson. The Mathematical Gazette, 100, p. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Arhivat la 19 august 2016 la Wayback Machine The Mathematical Gazette

Literatură

Savelov A. A. Curbe plane. Sistematică, proprietăți, aplicații (Ghid de referință) / Ed. A.P. Norden. - M. : Fizmatlit, 1960.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - Nr. 3 . - S. 19 . (Rusă)
EH Lockwood. Capitolul 8: Deltoidul // A Book of Curves (neopr.) . — Cambridge University Press , 1961.
Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p . doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149 , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Link -uri

Simson Line la cut-the-knot.org
FM Jackson și Weisstein, Eric W. Simson Line (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
O generalizare a teoremei lui Neuberg și a liniei Simson-Wallace la Dynamic Geometry Sketches , o schiță interactivă de geometrie dinamică.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex