Punct de rotunjire

Un punct de rotunjire ( punct circular , punct ombilical sau ombilic ) este un punct de pe o suprafață regulată netedă din spațiul euclidian la care curburele normale în toate direcțiile sunt egale.

Numele „ ombilic ” provine din franceză „ombilic”, care, la rândul său, provine din latinescul „umbilicus” - „buricul”.

Proprietăți

La punctul de rotunjire:

curburele principale ale suprafeței sunt aceleași.
Prima formă pătratică și a doua formă pătratică a suprafeței sunt proporționale.
orice direcție tangentă este o direcție principală .
Paraboloidul care atinge este un paraboloid al revoluției .
Indicatorul lui Dupin este un cerc .
Rețeaua de linii de curbură (adică linii tangente în fiecare punct la una dintre direcțiile principale ale suprafeței) are o caracteristică [1] .
Orice punct de rotunjire este fie un punct eliptic pe suprafață (dacă curburele principale sunt diferite de zero și, prin urmare , curbura gaussiană a suprafeței în acel punct este pozitivă), fie un așa-numit punct de rotunjire plat (dacă curburele principale sunt zero și, prin urmare, curbura gaussiană și curbura medie a suprafeței sunt egale cu zero în acest punct). În primul caz, într-o mică vecinătate a punctului de rotunjire, suprafața arată ca o sferă, iar în al doilea, arată ca un plan.

Exemple

În spațiul euclidian cu metrică : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Întreaga sferă este formată din puncte de rotunjire eliptice.
Un elipsoid triaxial (cu axe distincte în perechi) are exact patru puncte de rotunjire, toate fiind eliptice și de tip „lămâie”.
Întregul plan este format din puncte de rotunjire plate.
Saua maimuței are un punct de rotunjire plat izolat la origine.

Ipoteza lui Carathéodory

Carathéodory a presupus că pe orice suprafață convexă închisă suficient de netedă M din spațiul euclidian tridimensional, există cel puțin două puncte de rotunjire . Această presupunere a fost ulterior dovedită sub ipoteza suplimentară că suprafața M este analitică [2] [3] .

Generalizare

Fie o varietate netedă de dimensiune arbitrară într-un spațiu euclidian de dimensiune superioară. Apoi, în fiecare punct , sunt definite valorile proprii ale perechii primei și celei de-a doua forme pătratice date pe mănunchiul tangent . Un punct se numește ombilic dacă setul conține cel puțin două numere care se potrivesc în el. Mulțimea ombilicilor are codimensiunea 2, adică este dată de două ecuații independente. [4] Astfel, punctele ombilicale de pe o suprafață generică sunt izolate ( ), în timp ce pe un generic 3-varietate formează o curbă ( ). $M$ $n\geq 2$ $x\în M$ $n$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $TM$ $x\în M$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $M$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Literatură

Toponogov VA Geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Curs de geometrie diferențială, - Orice ediție.
Finikov S.P. Curs de geometrie diferențială, - Orice ediție.
Finikov S.P. Teoria suprafețelor, - Orice ediție.
Diferențierea geometrică IR Porteous pentru inteligența curbelor și a suprafețelor - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik DJ Prelegeri despre geometria diferențială clasică, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Retipărit de Dover Publ., Inc., 1988.

Note

↑ 1 2 Remizov A. O. Multidimensional Poincare Construction and Singularities of Lifted Fields for Implicit Differential Equations, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Ipoteza analitică a lui Carathéodory, Sib. matematica. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Metode matematice ale mecanicii clasice, - Orice ediție. (Anexa 10. Multiplicitățile frecvenței naturale și elipsoizii dependenți de parametri).