Curbură

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 iunie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Curbura este denumirea colectivă pentru o serie de caracteristici ( scalar , vector , tensor ) care descriu abaterea unuia sau altuia „obiect” geometric ( curbă , suprafață , spațiu riemannian etc.) de la obiectele „plate” corespunzătoare ( linie dreaptă ). , plan , spațiu euclidian , etc. ) etc.).

De obicei, curbura este definită pentru fiecare punct de pe „obiect” și exprimată ca valoare a unei expresii diferențiale de ordinul 2 . Uneori, curbura este definită într- un sens integral , de exemplu, ca măsură , astfel de definiții sunt folosite pentru „obiecte” cu netezime redusă. De regulă, dispariția identică a curburii în toate punctele implică o coincidență locală a „obiectului” studiat cu un obiect „plat”.

Acest articol oferă doar câteva exemple simple de definiții ale conceptului de curbură.

Curbura unei curbe

Curbura unei curbe dată parametric

Fie o curbă regulată în spațiul euclidian -dimensional parametrizată după lungimea sa . Apoi $\gamma (s)$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|

se numește curbura curbei în punctul , aici denotă derivata a doua față de . Vector $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(e)$ $s$

k={\ddot {\gamma }}(s)

se numeste vector de curbura in punctul . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Evident, această definiție poate fi rescrisă în termenii vectorului tangent : $\tau (s)={\dot {\gamma }}(s)$

k={\dot {\tau }}(s),

unde un punct deasupra literei înseamnă prima derivată în raport cu s.

Pentru o curbă dată parametric, în cazul general, curbura este exprimată prin formula

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

unde și, respectiv, indică derivatele prima și a doua ale vectorului rază în punctul cerut față de parametru (în acest caz, pentru o curbă în spațiu tridimensional, se poate înțelege produsul vectorial , pentru o curbă în două -spațiul dimensional, produsul pseudoscalar , iar pentru o curbă într-un spațiu de dimensiune arbitrară, produsul exterior ) . $\gamma '$ $\gamma ''$ $\gamma$ $\times$

Concepte înrudite

Reciproca curburii curbei ( ) se numește raza de curbură ; coincide cu raza cercului învecinat într-un punct dat al curbei. Centrul acestui cerc se numește centru de curbură . Dacă curbura curbei este zero, atunci cercul contiguu degenerează într-o linie dreaptă. $r=1/\kappa$

Curbe în plan

Pentru curbele pe un plan, există o formulă suplimentară utilizată în cazurile în care curba nu este dată parametric, ci ca un loc al punctelor care satisfac o ecuație.

Fie o curbă regulată pe planul euclidian cu coordonate date de o ecuație cu o funcție de două ori continuu diferențiabilă . Apoi curbura sa într-un punct este calculată cu formula [1] $\gamma$ $(X y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(X y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2)))).

În special, dacă curba este dată de ecuația , curbura ei este calculată prin formula $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

Pentru ca o curbă să coincidă cu un anumit segment al unei linii drepte sau cu întreaga linie dreaptă, este necesar și suficient ca curbura sa (sau vectorul de curbură) în toate punctele să fie identic egală cu zero. $\gamma$

Curbura orientată a unei curbe plane

Dacă curba se află în același plan, curburii acesteia i se poate atribui un semn. O astfel de curbură este adesea numită orientată . Acest lucru se poate face astfel: dacă atunci când punctul se mișcă în direcția creșterii parametrului, rotația vectorului tangentei are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci curbura este considerată pozitivă, dacă în sensul acelor de ceasornic, este negativă. Curbura orientată este exprimată prin formula

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3)}}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

Semnul curburii depinde de alegerea parametrizării și nu are semnificație geometrică. Sensul geometric este o schimbare a semnului curburii la trecerea printr-un anumit punct (așa-numitul punct de inflexiune ) sau păstrarea semnului într-o anumită zonă (natura convexității curbei).

Interpretare mecanică

Intuitiv, curbura poate fi înțeleasă cu următoarea interpretare mecanică

Să presupunem că un punct material se mișcă de-a lungul unei curbe plane. Atunci modulul componentei normale a accelerației este $A$

a=\kappa \cdot v^{2},

unde este curbura curbei, este viteza punctului [3] . $\kappa$ $v$

Rețineți că curbura curbei este utilizată ca mărime fizică , are dimensiunea inversă unității de lungime (în sistemul SI, este 1/m).

Curbura suprafeței

Să existe o suprafață regulată în spațiul euclidian tridimensional . $\Phi$

Să fie un punct $p$ $\phi ,$

T_{p}

este planul tangent la punctul

\Phi

p,

n

este unitatea normală la un punct

\Phi

p,

a este un plan care trece prin și un vector unitar în

\pi _{e}

n

e

T_p.

Curba obținută ca intersecția planului cu suprafața se numește secțiune normală a suprafeței într-un punct din direcția $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $p$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

unde denotă produsul scalar și este vectorul de curbură în punct , se numește curbura normală a suprafeței în direcție . Până la un semn, curbura normală este egală cu curbura curbei . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $p$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Există două direcții perpendiculare în planul tangent și astfel încât curbura normală într-o direcție arbitrară poate fi reprezentată folosind așa-numita formulă Euler : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

unde este unghiul dintre această direcție și , a sunt valorile și curburele normale în direcțiile și , ele se numesc curburi principale , iar direcțiile și sunt direcțiile principale ale suprafeței în punctul . Curburele principale sunt valorile extreme ale curburelor normale. Structura curburilor normale într-un punct dat de pe suprafață este descrisă în mod convenabil grafic folosind indicatricea lui Dupin . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $p$

Valoare

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

se numește curbura medie a suprafeței. [4] (Uneori se folosește o altă definiție: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Valoare

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

numită curbură gaussiană sau curbura totală a suprafeţei.

Curbura gaussiană este un obiect al geometriei interne a suprafețelor; în special, nu se modifică în cazul îndoiri izometrice.

Vezi și

Literatură

Vilenkin, N. Despre curbură , Kvant. - 1992. - Nr 4 . - S. 2-9, 15 . (Rusă)
Gromov M. Semnul și semnificația geometrică a curburii. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2000. - 128 p. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Geometrie diferențială (ediția a VI-a). Moscova: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Un curs de geometrie diferențială (ediția a treia). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. Despre curbură // Kvant . - 1989. - Nr 5 . - S. 15-21, 42 .

Note

↑ Goldman, R. Formule de curbură pentru curbe și suprafețe implicite // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , nr 7 . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Un scurt curs de matematică superioară. Proc. indemnizație pentru universități. M., „Mai înalt. scoala" c. 368 . Preluat la 26 mai 2020. Arhivat din original la 15 ianuarie 2022. (nedefinit)
↑ Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 p.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Un scurt curs de geometrie și topologie diferențială. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Geometrie diferențială, anul II .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236