Câmp comandat

Un câmp ordonat este un câmp algebric , pentru toate elementele cărora este definită o ordine liniară , în concordanță cu operațiile câmpului. Cele mai importante exemple practic sunt câmpurile numerelor raționale și reale . Termenul a fost propus de Artin în 1927.

Definiție

Fie un câmp algebric și o ordine liniară este definită pentru elementele sale , adică este dată o relație (mai mică sau egală cu) cu următoarele proprietăți: $F$ $\leqslant$

Reflexivitate : . $x \leqslant x$
Tranzitivitate : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetrie : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Liniaritate: toate elementele sunt comparabile între ele, adică fie , fie . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

În plus, solicităm ca ordinea să fie consecventă cu operațiile de adunare și înmulțire:

Dacă , atunci pentru orice z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Dacă și , atunci . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Dacă toate cele 6 axiome sunt îndeplinite, atunci câmpul se numește ordonat . $F$

Definiții înrudite

Pentru comoditatea notării, sunt introduse relații secundare suplimentare:

Un raport mai mare sau egal cu : înseamnă că .

x\geqslant y

y\leqslant x

Raportul mai mare decât : înseamnă că și .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Un raport mai mic decât : înseamnă că .

x<y

y>x

O formulă cu oricare dintre aceste 4 relații se numește inegalitate .
Elementele mai mari decât zero sunt numite pozitive , în timp ce cele mai mici de zero sunt numite negative . De asemenea, puteți defini valoarea absolută a unui element ca . $|x|$ $X$ $max(x, -x)$

Construcția constructivă a ordinului

O modalitate de a defini o ordine liniară într-un câmp F este de a evidenția o submulțime de numere pozitive P din acesta, care este închisă sub adunare și înmulțire și are următoarea proprietate. cele trei submulțimi , zero și nu se intersectează și formează împreună o partiție a întregului câmp. $P$ $-P$

Fie ca astfel de P să fie distins. Notați (această mulțime este, de asemenea, închisă la adunare și înmulțire) și definiți o ordine liniară în F după cum urmează: $P_0 =P \cup \{0\}$

x \leqslant y

, dacă

yx \in P_0

Toate axiomele de ordine de mai sus sunt apoi satisfăcute. Orice câmp ordonat poate fi construit folosind procedura descrisă.

Proprietăți

Fiecare element al unui câmp ordonat aparține uneia și numai uneia dintre cele trei categorii: pozitiv, negativ, zero. Dacă este pozitiv, atunci negativ și invers. $X$ $-X$
În orice câmp ordonat și pătratul oricărui element diferit de zero este pozitiv. $1>0$
Se pot adăuga inegalități similare:

Dacă și , atunci .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Inegalitățile pot fi înmulțite cu elemente pozitive:

Dacă și , atunci .

x \leqslant y

c \geqslant 0

cx\leqslant cy

Comanda non-unica

În general, un câmp poate fi ordonat în mai multe moduri. Exemplu: luați în considerare un câmp de numere de forma , unde sunt numere raționale. Pe lângă ordinea obișnuită, acest câmp poate fi definit și astfel: să includem în „submulțimea numerelor pozitive” acele numere pentru care . Este ușor de verificat dacă sunt îndeplinite condițiile date în secțiunea privind construcția constructivă a comenzii [1] . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ $P$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a>b{\sqrt {2}}$

Locul în ierarhia structurilor algebrice

Un subcâmp al unui câmp ordonat moștenește ordinea părinte și, prin urmare, este și un câmp ordonat.
Caracteristica unui câmp ordonat este întotdeauna zero.
- În special, un câmp finit nu admite ordine.
Un câmp admite ordonarea dacă și numai dacă nu poate fi reprezentat ca sumă a pătratelor elementelor câmpului. Prin urmare, nu se poate extinde ordinea reală la numere complexe . $-unu$
Cel mai mic câmp ordonat este câmpul numărului rațional , care poate fi ordonat doar într-un singur fel. Acest câmp sau un câmp rațional izomorf cu acesta este conținut ca subcâmp în orice alt câmp ordonat.
Dacă un câmp ordonat nu conține un element mai mare decât toate elementele unui câmp rațional, câmpul se numește Arhimedean [2] . Câmpul maxim ordonat arhimedian este câmpul numerelor reale ; orice alt câmp ordonat arhimedian este izomorf cu unul dintre subcâmpuri . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Orice câmp ordonat poate fi încorporat într- un câmp ordonat de numere suprareale cu ordinea păstrată.

Exemple

Numere rationale
Numere reale
Numerele algebrice reale
Câmpul funcţiilor raţionale reale : , unde sunt polinoame , . Să o aranjam după cum urmează. ${\frac {p(x)}{q(x)))$ $p(x),q(x)$ $q(x)\neq 0$
- Să presupunem că funcția , dacă . Constantele reale (ca polinoame de ordin zero) sunt astfel ordonate în mod tradițional. $p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m} .$ ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0$ ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0$
- Din definiție rezultă că polinomul este mai mare decât orice constantă, adică
axioma lui Arhimede nu este valabilă pentru acest câmp, câmpul este non-Arhimedean. Același câmp admite și o ordine arhimediană, de exemplu, dacă considerăm pozitive acele funcții (fracții) pentru care [3] . $p(x)=x$ $r(x)$ $r(\pi)>0$

Numerele hiperreale sunt un alt exemplu de câmp non-Arhimedian.

După cum am menționat mai sus, domeniul numerelor complexe nu admite o ordine care extinde ordinea numerelor reale. Cu toate acestea, unele subcâmpuri complexe pot fi ordonate. Luați în considerare, de exemplu, un câmp generat prin adăugarea unui număr la câmpul numerelor raționale - una dintre rădăcinile complexe ale polinomului . Acest câmp este izomorf cu câmpul real , astfel încât ordinea reală obișnuită poate fi transferată în el [3]

\mathbb{Q}[\theta]

\mathbb {Q}

\theta

x^{3}-2

\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]

Exemple de câmpuri neordonate

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. Moscova: Nauka, 1965.
Van der Waerden B. L. Algebră. Ed. a II-a, M.: Nauka, 1979, 469 p.
Leng S. Algebră. M: Mir, 1968.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p. .

Note

↑ Nechaev V.I. Sisteme numerice, 1975 , p. 93.
↑ Nechaev V.I. Sisteme numerice, 1975 , p. 93-94.
↑ 1 2 Nechaev V. I. Sisteme numerice, 1975 , p. 94.