Câmp (algebră)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 iulie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Un câmp în algebră generală este o mulțime pentru ale cărei elemente sunt definite operațiile de adunare , luând valoarea opusă , înmulțirea și împărțirea (cu excepția împărțirii la zero ), iar proprietățile acestor operații sunt apropiate de proprietățile operațiilor numerice obișnuite . Cel mai simplu câmp este câmpul numerelor raționale (fracțiilor). Elementele unui câmp nu sunt neapărat numere, așa că, chiar dacă numele operațiilor de câmp sunt preluate din aritmetică , definițiile operațiilor pot fi departe de aritmetică.

Domeniul este principalul subiect de studiu al teoriei câmpurilor . Numerele raționale , reale , complexe , funcțiile raționale [1] și resturile modulo un număr prim dat formează câmpuri .

Istorie

În cadrul conceptului de câmp , Galois a lucrat implicit în 1830, folosind ideea unei extensii algebrice a unui câmp, a reușit să găsească o condiție necesară și suficientă pentru ca o ecuație dintr-o variabilă să fie rezolvată în radicali . Mai târziu, cu ajutorul teoriei Galois , s-a dovedit imposibilitatea rezolvării unor astfel de probleme clasice precum pătrarea unui cerc , trisectarea unui unghi și dublarea unui cub .

O definiție explicită a conceptului de câmp este atribuită lui Dedekind (1871), care a folosit termenul german Körper (corp). Termenul „câmp” ( câmp în engleză ) a fost introdus în 1893 de matematicianul american Eliakim Hastings Moore [2] .

Fiind cea mai apropiată dintre toate abstracțiile algebrice generale de numerele obișnuite, câmpul este folosit în algebra liniară ca o structură care universalizează conceptul de scalar , iar structura principală a algebrei liniare, spațiul liniar , este definită ca o construcție peste un arbitrar. camp. De asemenea , teoria câmpurilor formează în mare măsură baza instrumentală a unor secțiuni precum geometria algebrică și teoria numerelor algebrice .

Definiții formale

Formal, un câmp este o algebră peste o mulțime care formează un grup comutativ prin adunare peste cu un element neutru și un grup comutativ prin înmulțire peste elemente nenule , cu proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare. $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Dacă extindem definiția, atunci o mulțime cu operațiile algebrice de adunare și înmulțire introduse pe ea ( , adică ) se numește câmp dacă următoarele axiome sunt adevărate: $F$ $+$ $*$ $+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F$ $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Comutativitatea adunării: . $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
Asociativitatea de adunare: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Existenta unui element nul: . $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Existenta elementului opus: . $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0))$
Comutativitatea înmulțirii: . $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
Asociativitatea înmulțirii: . $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Existenta unui singur element: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Existența elementului invers pentru elemente nenule: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\există a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Axiomele 1-4 corespund definirii unui grup comutativ prin adunare peste ; axiomele 5-8 corespund definiţiei unui grup comutativ prin înmulţire peste ; axioma 9 leagă operațiile de adunare și înmulțire printr-o lege distributivă. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Axiomele 1-7 și 9 sunt definiția unui inel comutativ cu identitate.

Toate axiomele de mai sus, cu excepția comutativității înmulțirii, corespund și definiției unui corp .

În legătură cu alte structuri (care apar din punct de vedere istoric mai târziu), un câmp poate fi definit ca un inel comutativ care este un inel de diviziune . Ierarhia structurii este următoarea:

Inele comutative ⊃Domenii de integritate ⊃ Inele factoriale ⊃ Domenii ideale principale ⊃ Inele euclidiene ⊃ Câmpuri.

Definiții înrudite

Peste câmpuri, definițiile algebrice generale de bază sunt introduse într-un mod natural: un subcâmp este un submult care este el însuși un câmp în ceea ce privește restricția operațiilor de la câmpul principal la acesta, iar o extensie este un câmp care conține un subcâmp.

Homomorfismul câmpului este, de asemenea, introdus într-un mod natural: ca o mapare astfel încât , și . În special, niciun element inversabil sub homomorfism nu poate merge la zero, deoarece , prin urmare, nucleul oricărui homomorfism de câmp este zero, adică homomorfismul de câmp este o încorporare . $f$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

Caracteristica câmpului este aceeași cu caracteristica inelului : cel mai mic număr întreg pozitiv astfel încât suma de copii ale unuia este zero: $n$ $n$

\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.

Dacă un astfel de număr nu există, atunci caracteristica este considerată egală cu zero. Problema determinării caracteristicii se rezolvă de obicei folosind conceptul de câmp simplu - un câmp care nu conține subcâmpuri proprii, datorită faptului că orice câmp conține exact unul dintre câmpurile simple.

Câmpurile Galois sunt câmpuri formate dintr-un număr finit de elemente. Numit după primul lor explorator Évariste Galois .

Proprietăți

Caracteristica câmpului este întotdeauna sau un număr prim . $0$
- Câmpul caracteristicii conține un subcâmp
izomorf cu câmpul numerelor raționale . $0$ $\mathbb {Q}$
Câmpul unei caracteristici simple conține un subcâmp izomorf cu câmpul reziduurilor . $p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Numărul de elemente dintr-un câmp finit este întotdeauna egal cu puterea unui număr prim.

p^{n}

Mai mult, pentru orice număr al formei există un câmp unic (până la izomorfism ) de elemente, de obicei notat cu . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Nu există divizori zero în câmp .

Orice subgrup finit al unui grup de câmp multiplicativ este ciclic . În special, grupul multiplicativ de elemente nenule ale unui câmp finit este izomorf cu .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Din punctul de vedere al geometriei algebrice , câmpurile sunt puncte, deoarece spectrul lor este format dintr-un singur punct - idealul {0}. Într-adevăr, câmpul nu conține alte idealuri proprii : dacă un element diferit de zero aparține unui ideal, atunci toți multiplii lui, adică întregul câmp, sunt în ideal. În schimb, un inel comutativ care nu este un câmp conține un element neinversibil (și diferit de zero) a . Atunci idealul principal generat de a nu coincide cu întregul inel și este conținut într-un ideal maxim (și deci simplu ); și, prin urmare, spectrul acestui inel conține cel puțin două puncte.

Exemple de câmp

Câmpuri cu caracteristică egală cu 0

$\mathbb {Q}$ sunt numere raționale ,
$\mathbb {R}$ sunt numere reale ,
$\mathbb {C}$ sunt numere complexe ,
$\mathbb {A}$ sunt numere algebrice peste câmpul numerelor raționale (un subcâmp în câmpul ). $\mathbb {C}$
Numerele de forma , , relativ la operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Acesta este un exemplu de câmp pătratic care formează un subcâmp în . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\în \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ este câmpul funcțiilor raționale de forma , unde și sunt polinoame peste un câmp cu caracteristica 0 (în acest caz , , , și nu au divizori comuni, cu excepția constantelor). $f(x)/g(x)$ $f$ $g$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $f$ $g$

Câmpuri cu caracteristică diferită de zero

Orice câmp finit are o altă caracteristică decât zero. Exemple finale de câmp:

$\mathbb {Z} _{p}$ este câmpul de reziduuri modulo , unde este un număr prim. $p$ $p$
$\mathbb {F} _{q}$ este un câmp finit de elemente, unde este un număr prim, este un număr natural. Toate câmpurile finite au această formă. $q=p^{k}$ $p$ $k$

Există exemple de câmpuri infinite cu caracteristică diferită de zero.

Vezi și

Câmp închis algebric

Note

↑ Lev Dmitrievici Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1
↑ Cele mai vechi utilizări cunoscute ale unora dintre cuvintele matematicii (F) . Preluat la 28 septembrie 2019. Arhivat din original la 24 ianuarie 2021. (nedefinit)

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Partea 2. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. — M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1968. — 564 p.
P. Aluffi. Capitolul VII // Algebră: Capitolul 0. - Societatea Americană de Matematică, 2009 . - (Studii Licențiate în Matematică). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Domeniul // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Mare norvegian Rusă mare Britannica (online) Brockhaus