Ecuația Londrei

Ecuația de la Londra (în unele surse - ecuația de la Londra) stabilește o relație între curent și câmpul magnetic în supraconductori . A fost obținut pentru prima dată în 1935 de către frații Fritz și Heinz London [1] . Ecuația de la Londra a oferit prima explicație satisfăcătoare pentru efectul Meissner , dezintegrarea câmpului magnetic în supraconductori. Apoi, în 1953, a fost obținută ecuația Pippard pentru supraconductori puri.

Ecuația de la Londra

Înțelesul complet al mecanismului de ordonare în supraconductivitate a fost recunoscut pentru prima dată de fizicianul teoretician Fritz London [2] . Dându-și seama că o descriere electrodinamică bazată exclusiv pe ecuațiile lui Maxwell , în limita rezistenței zero, ar prezice inevitabil comportamentul ireversibil al unui conductor ideal și nu ar da diamagnetismul reversibil al unui supraconductor, Londra a introdus o ecuație suplimentară. Forma acestei ecuații poate fi obținută în diferite moduri, de exemplu, prin reducerea la minimum a energiei libere în raport cu distribuția curentului și a câmpului [3] sau prin asumarea rigidității absolute a funcțiilor de undă supraconductoare în raport cu acțiunea unui exterior. camp; pentru scopurile noastre este însă suficient să o considerăm ca pe o ipoteză intuitivă pe deplin justificată de succesul ei.

Ecuația propusă de Londra este

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {putrezire} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,

unde este densitatea curentului, este inducția magnetică, , m și q sunt masa și sarcina purtătorilor de curent supraconductori, iar n este densitatea acestor purtători. $\mathbf {j}$ $\mathbf {B}$ $\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi nq^2}$

Londra adâncime de penetrare

Folosind ecuația Maxwell , se poate scrie ecuația de la Londra sub forma [4] $\operatorname {putrezire} \mathbf {B} = {\frac {4\pi \mathbf {j} {c))$

\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatorname {putrezire} \operatorname {putrezire} \mathbf {B} '=0,

unde B ′ este derivata vectorului B în raport cu timpul t . Această ecuație este satisfăcută de B = const. Dar o astfel de soluție nu este în concordanță cu efectul Meissner-Ochsenfeld, deoarece în interiorul supraconductorului trebuie să existe un câmp B = 0. Soluția suplimentară s-a dovedit deoarece operația de diferențiere a timpului a fost aplicată de două ori în derivație. Pentru a exclude automat această soluție, Londonienii au introdus ipoteza că în ultima ecuație derivata B ′ ar trebui înlocuită cu vectorul B însuși . Asta da

\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatorname {putrezire} \operatorname {putrezire} \mathbf {B} =0.

Soluția acestei ecuații în regiunea supraconductoare cu dimensiuni liniare mult mai mari este $\lambda$

\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda )),

unde este inducția la o adâncime sub suprafață. Parametrul are dimensiunea lungimii și se numește adâncimea de penetrare a câmpului magnetic de la Londra. Adică, câmpul magnetic pătrunde în supraconductor doar până la o adâncime de . Pentru metale µm. $\mathbf{B}(\xi)$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \sim 10^{-2)$

Natura supraconductivității

Ecuația de la Londra oferă cheia înțelegerii naturii ordonării supraconductoare. Introducând potențialul vectorial , unde , folosind gabaritul și considerând un supraconductor simplu conectat, ajungem la ecuația de la Londra sub forma $\mathbf {A}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {A} =\mathbf {B}$ $\operatorname{div} \mathbf{A} = 0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.

În prezența unui potențial vectorial, impulsul generalizat al unei particule încărcate este dat de

\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} {c}}\right)

Momentul mediu pe particulă poate fi scris ca

{\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j } +\mathbf {A} \right)=0.

Prin urmare, ordinea supraconductoare se datorează condensării purtătorilor de curent într-o stare cu cel mai mic impuls posibil . În același timp, din principiul incertitudinii rezultă că scara de ordonare spațială corespunzătoare este infinită, adică obținem „coerență” infinită și imposibilitatea de a afecta sistemul de electroni prin câmpuri localizate în spațiu. $\mathbf{P} = 0$

Prima ecuație a lui Londons

Ecuația mișcării pentru o unitate de volum de electroni supraconductori într-un câmp electric are forma

nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,

unde , , sunt concentrația, viteza și, respectiv, masa electronilor (superconductori). Introducând densitatea de supracurent conform , obținem prima ecuație a lui London: $n$ $\mathbf{v}$ $m$ $\mathbf{j} = nu \mathbf{v}$

\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j}),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.

A doua ecuație a Londrei (derivare)

Să folosim ecuațiile Maxwell sub formă

\operatorname {putrezire} \mathbf {H} ={\frac {4\pi {c}}\mathbf {j}

pentru a afla densitatea de volum a energiei cinetice a electronilor supraconductori:

\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2},

Unde $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

De asemenea, densitatea de volum a energiei magnetice este , atunci energia liberă poate fi scrisă ca ( este energie liberă fără câmp magnetic) integrală peste volumul supraconductorului: ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$ $F_{0}$

F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^ {2}]\,dV.

Prima variație asupra câmpului este egală cu

\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {putrezire} \mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\ operatorname {putrezire} \operatorname {putrezire} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname { div} [\operatorname {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.

Ținând cont de faptul că a doua integrală este egală cu zero (conform formulei Gauss-Ostrogradsky, se reduce la o integrală peste suprafață, unde variația este setată la zero), avem

\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {putrecerea} \operatorname {putrecerea} \mathbf {H} =0,

care împreună cu expresia pentru potențialul vectorial , prima ecuație a lui London și alegerea gabaritului londonez , dă ecuația necesară: $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2)}}\mathbf {A}$ $\operatorname {div} (\mathbf {A} )=0$ $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {putrezire} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.

Vezi și

ecuația lui Pippard

Note

↑ Londra, F.; H. Londra. Ecuațiile electromagnetice ale supraconductorului // Proc . Roy. soc. (Londra) : jurnal. - 1935. - Martie ( vol. A149 , nr. 866 ). — P. 71 .
↑ F. Londra , Superfluids, voi. 1. Wiley, New York, 1950.
↑ P.G. de Gennes , Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (vezi traducerea: M., Mir, 1968).
↑ Sivukhin. DV Curs general de fizică. Proc. alocație: pentru universități. În 5 vol. T III. Electricitate. - editia a 4-a. - M. : MIPT, 2004. - S. 321–322. — 656 p. — ISBN 5-9221-0227-3 . - ISBN 5-89155-086-5 .

Literatură

Tilly D.R., Tilly J. Superfluiditate și supraconductivitate. — M .: Mir, 1977. — 304 p.