Condițiile de radiație Sommerfeld

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Ecuația Helmholtz [1] :

\Delta U+k^{2}U=f

- are mai mult de o soluție în clasa funcțiilor ( generalizate ) care dispar la infinit. Pentru a izola clasa de unicitate a soluției (din motive de comoditate, alegeți o soluție specifică) în domenii nemărginite, este necesar să solicitați restricții suplimentare asupra soluției la infinit. Aceste restricții au fost condițiile de radiație Sommerfeld:

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\dreapta),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}- iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\dreapta),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}+ iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)

Condițiile de radiație corespund undelor care merg la infinit, iar condițiile corespund undelor care vin de la infinit. Pentru funcţiile armonice , condiţiile de radiaţie decurg dintr-o singură cerinţă: . De asemenea, se poate demonstra că pentru orice soluție a ecuației Helmholtz omogene care satisface a doua dintre condiții sau satisface prima condiție: $\stanga(1\dreapta)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $\stanga(k=0\dreapta)$ $u\left(\infty\right)=0$ $k>0$ $\stanga(1\dreapta)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)$

Note

↑ Vladimirov V.S. „Ecuații ale fizicii matematice”, M., „Nauka”, 1981, p.438-439

Literatură

A. Sommerfeld . Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - Vol. 21. - P. 309-353.
S.H. Schot. Optzeci de ani de starea de radiație a lui Sommerfeld // Historia Mathematica. - 1992. - Vol. 19. - P. 385-401.
S. V. Molodtsov. Condiții de radiație Sommerfeld // Enciclopedia fizică