Filtrare (procese aleatorii)

Filtrarea în teoria proceselor aleatoare este o familie nedescrescătoare de σ-algebre .

Definiție

Să fie dat un spațiu de probabilitate și o submulțime a dreptei numerice . O familie de σ-algebre astfel încât $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $T\subset \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$

{\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad \forall s\leq t,\;s,t\in T,

se numește filtrarea spațiului de probabilitate . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Filtrarea naturală a unui proces aleatoriu

Să fie dat un proces aleator definit pe un spațiu de probabilitate. Să definim $\{X_{t}\}_{t\in T}$

{\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.

Atunci familia este o filtrare și se numește filtrarea naturală a unui proces aleatoriu . $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{{t\in T}}$ $\{X_{t}\}$

Vezi și

Literatură

Probabilitatea Skorokhod A.V. Aspecte aplicate, Teoria probabilității - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. directii, 43, VINITI, M., 1989, p. 189-270
Shiryaev A. N. Probabilitate, - M .: Nauka, 1989.