Flexagon

Flexagons (din engleză  la flex , lat.  flectere - fold, bend, bend și greacă ωνος - pătrat) - modele plate de benzi de hârtie care se pot plia și îndoi într-un anumit fel. Când flexagonul este pliat, suprafețele care erau ascunse anterior în structura flexagonului devin vizibile, iar suprafețele vizibile anterior intră în interior.

Mulți flexagoni sunt pătrați (tetraflexagons) sau hexagonali (hexaflexagons). Cu toate acestea, există flexagoni de alte forme, inclusiv dreptunghiulare și inelare.

Pentru a face distincția între planuri, numere, litere, elemente de imagine sunt aplicate pe sectoarele flexagonului sau pur și simplu pictate într-o anumită culoare.

Istorie

Primul flexagon a fost descoperit în 1939 de un student englez , Arthur Stone , care studia atunci matematica la Universitatea Princeton din Statele Unite. Hârtia de dimensiune Letter era prea largă pentru a încăpea în liantul format A4 . Piatra a tăiat marginile hârtiei și a început să plieze diferite forme din benzile rezultate, dintre care una s-a dovedit a fi un trihexaflexagon [1] [2] .

Curând a fost creat un „Comitet Flexagon”, care includea, pe lângă Stone, studentul absolvent de matematică Brian Tuckerman , studentul absolvent de fizică Richard Feynman și profesorul de matematică John W. Tukey [2] .

Până în 1940, Feynman și Tukey au dezvoltat teoria flexagonilor, punând astfel bazele tuturor cercetărilor ulterioare. Teoria nu a fost publicată integral, deși părți din ea au fost ulterior redescoperite [2] . Atacul asupra Pearl Harbor a suspendat activitatea Comitetului Flexagon, iar războiul i-a împrăștiat curând pe toți cei patru fondatori în direcții diferite [3] .

Flexagons au câștigat popularitate după apariția în numărul din decembrie 1956 al Scientific American a primei rubrici a lui Martin Gardner „Mathematical Games”, dedicată hexaflexagonilor [4] [5] .

Flexagonurile au fost brevetate în mod repetat sub formă de jucării, dar nu au fost comercializate pe scară largă [6] [7] .

Tipuri de flexagoni

Suprafețele unui flexagon pot consta din triunghiuri echilaterale sau isoscele, pătrate, pentagoane etc. Un flexagon poate permite să apară un anumit număr de suprafețe; unele dintre ele pot fi anormale (adică includ sectoare cu numere diferite). Un flexagon de o formă dată cu un număr dat de planuri poate fi realizat din diferite dezvoltări. Mai mult, chiar și aceeași desfășurare poate permite diferite opțiuni de pliere [3] [8] .

Numele flexagonilor

Numele multor flexagoni sunt formate după principiul „prefix (număr de suprafețe) + prefix (formă) +” flexagon „”. Astfel, primul prefix indică câte suprafețe are flexagonul, care se pot deschide mai devreme sau mai târziu, iar al doilea indică în câte părți este împărțită fiecare astfel de suprafață. De exemplu, un tetratetraflexagon este un flexagon cu patru suprafețe, fiecare constând din patru pătrate; hexahexaflexagon - un flexagon cu șase suprafețe, fiecare constând din șase triunghiuri; dodecahexaflexagon - un flexagon cu douăsprezece suprafețe ("dodeca"), fiecare dintre acestea fiind formată din șase sectoare ("hexa") etc. [9]

Cu toate acestea, nu există un sistem de denumire general acceptat pentru flexagons. Martin Gardner a folosit termenii „tetraflexagon” și „hexaflexagon” pentru a desemna flexagonii formați din pătrate și, respectiv, triunghiuri, iar suprafețele unui tetraflexagon ar putea consta din patru sau șase pătrate [3] . În cartea Flexagons Inside Out , flexagonii sunt desemnați prin forma sectoarelor (pătrat, pentagonal etc.) [10] [11]

Mai târziu, flexagonii cu 8, respectiv 12 sectoare triunghiulare au început să fie numiți octa- și dodecaflexagoni [8] . Dacă sectoarele suprafețelor flexagonului sunt triunghiuri regulate sau isoscele, atunci pe lângă hexaflexagoni există și triunghiuri tetra-, penta-, hepta-, octaflexagoane [11] .

Revistele „Science and Life” au folosit în principal sistemul de prefixe IUPAC [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexagoane

Un hexaflexagon este un flexagon în formă de hexagon obișnuit. Fiecare suprafață flexagon constă din șase sectoare triunghiulare.

Există multe hexaflexagoni, care diferă prin numărul de suprafețe. Hexaflexagoni cunoscuți cu trei, patru, cinci, șase, șapte, nouă, doisprezece, cincisprezece, patruzeci și opt de suprafețe; numărul de avioane este limitat doar de faptul că hârtia are o grosime diferită de zero [9] [1] [3] [16] [17] .

Numărul de tipuri de hexaflexagoni crește rapid odată cu creșterea numărului suprafețelor sale: există 3 tipuri de hexahexaflexagoni, 4 tipuri de heptahexaflexagoni, 12 tipuri de octahexaflexagoni, 27 de tipuri de ennahexaflexagoni și 82 de tipuri de decahexaflexagoni [3] [18] .

Trihexaflexagon

Fidel numelui său, un trihexaflexagon este un flexagon hexagonal cu trei suprafețe. Este cel mai simplu dintre toți hexaflexagonii (cu excepția unahexaflexagonului și duohexaflexagonului ). Este o bandă Möbius aplatizată [1] [3] . Un trihexaflexagon poate fi rulat dintr-o bandă de hârtie împărțită în zece triunghiuri echilaterale [16] [1] . Trihexaflexagonul este pliat folosind metoda pinch flex [16] [1] [19] , cu o rotație de 60° după fiecare pliere.

Hexahexaflexagon

Un hexahexaflexagon este un flexagon cu șase suprafețe hexagonale. Un hexahexaflexagon poate fi realizat dintr-o bandă lungă de 19 triunghiuri [9] [19] [17] .

Tetraflexagons

Cel mai simplu tetraflexagon (flexagon cu suprafețe pătrate) este tritetraflexagon, care are trei suprafețe. Doar două dintre cele trei suprafețe sunt vizibile la un moment dat.

Hexatetraflexagonul și decatetraflexagonul mai complexe sunt asamblate dintr-un alez în formă de cruce fără utilizarea adezivului [12] . Tetraflexagonii cu 4 n  + 2 planuri pot fi realizate și din cadre pătrate [3] .

Fâșiile de hârtie în zig-zag pot fi folosite pentru a realiza tetratetraflexagoni și alte tetraflexagoni cu un număr de plane divizibil cu 4 [21] .

Flexagoane inelare

Un flexagon inelar este un flexagon a cărui suprafață este un „inel” de poligoane. Prefixul „circo” poate fi folosit pentru a denumi flexagonurile inelare, de exemplu, pentacircodecaflexagonul este un flexagon inel cu cinci plane, fiecare constând din zece poligoane (pentagoane) [22] ; trigemicircohexaflexagon - un flexagon cu trei suprafețe, fiecare dintre acestea fiind un inel ( circo ) de jumătăți ( hemi ) de hexagoane regulate ( hexa ) [14] .

Calea Tuckerman

O modalitate ușoară de a găsi toate suprafețele unui hexaflexagon - mersul Tuckerman - este să țineți flexagonul la un colț și să deschideți modelul până când nu se mai deschide, apoi să rotiți flexagonul cu 60° în sensul acelor de ceasornic, să apucați colțul adiacent și să repetați la fel [19] [17] .

Când vă plimbați în jurul lui Tuckerman, planurile hexahexaflexagonului se vor deschide în ordinea: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (sau în ordine inversă), după care secvența se va repeta. Această secvență se numește calea Tuckerman [19] [17] .

Metode de pliere („flexe”)

Hexaflexagoane

Metoda de pliere hexaflexagon descrisă mai sus, folosită pentru a ocoli toate planurile (căile Tuckerman), se numește pinch flex [20] . Există următoarele metode pentru plierea hexaflexagonilor:

  • pinch flex [20] (efectuați pe hexaflexagoni cu trei sau mai multe planuri)
  • v-flex [23] [24] (performanță pe hexaflexagoane cu patru sau mai multe planuri)
  • tuck flex [25] , "barcă-hexaedru" [19] (efectuați pe hexaflexagoane cu patru plane sau mai multe)

și altele [26]

Anomalii

Un plan flexagon (un set de sectoare) cu numere diferite se numește plan anormal , iar un flexagon cu un plan anormal vizibil (în poziție anormală) se numește flexagon anormal [19] [17] [27] . Apariția planurilor anormale este posibilă pe flexagoni de ordin suficient de mare, de exemplu, pe hexahexaflexagon [19] , dodecahexaflexagon [27] . Cel mai simplu hexaflexagon, care permite apariția anomaliilor, este tetrahexaflexagonul [22] . Pentru a realiza planuri anormale, se folosesc metode de pliere, altele decât flexul prin pinch „standard” [19] .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Știință și viață, 1970, nr. 1
  2. ↑ 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon Arhivat 26 mai 2011 la Wayback Machine
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Puzzle-uri matematice și distracție
  4. ^ Martin Gardner's Collections of "Mathematical Games" Columns Arhivat la 29 august 2014 la Wayback Machine . Muppetlabs
  5. ↑ Gardner, Martin. Flexagons  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - Decembrie ( vol. 195 , nr. 6 ). - P. 162-168 . - doi : 10.1038/scientificamerican1256-162 .
  6. ↑ Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard DL Dispozitive de distracție schimbătoare și altele asemenea . Freepatentsonline.com (21 aprilie 1959). Consultat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 13 august 2013.
  7. ↑ Brevete . Preluat la 31 iulie 2013. Arhivat din original la 18 iulie 2012.
  8. ↑ 12 Scott Sherman . Numirea și terminologia Flexagon . Arhivat din original pe 5 ianuarie 2009.
  9. ↑ 1 2 3 Știință și viață, 1970, nr. 3
  10. ↑ Les Pook, Flexagons Inside Out
  11. ↑ 12 Scott Sherman . Bestiarul Triunghi Flexagon . Arhivat din original pe 12 iunie 2008.
  12. ↑ 1 2 Știință și viață, 1975, nr. 9
  13. ↑ Știință și viață, 1992, nr. 4
  14. ↑ 1 2 Știință și viață, 1993, nr. 11
  15. ↑ Știință și viață, 1993, nr. 12
  16. ↑ 123 Flexagons . _ _ Mathematische Basteleien. Arhivat din original pe 9 martie 2017.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Știință și viață, 1970, nr. 2
  18. ↑ Secvența OEIS A000207 Numărul de hexaflexagoni de ordinul n+2
  19. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Știință și viață, 1977, nr. 2
  20. ↑ 1 2 3 Scott Sherman. Pinch Flex . Arhivat din original pe 5 ianuarie 2009.
  21. ↑ Știință și viață, 1972, nr. 3
  22. ↑ 1 2 Știință și viață, 1977, nr. 8
  23. ↑ Videoclipul Flexagon Portal v-flex Arhivat 6 septembrie 2013 la Wayback Machine
  24. ↑ Scott Sherman. Flexul V. Arhivat din original pe 23 august 2016.
  25. ↑ Scott Sherman. Tuck Flex . Arhivat din original pe 23 august 2016.
  26. ↑ Scott Sherman. Triunghi Flexagon Flexes . Arhivat din original pe 23 august 2016.
  27. ↑ 1 2 Kvant, 1992, nr. 10

Literatură

Cărți

  • Martin Gardner . Puzzle-uri matematice și divertisment = Mathematical Puzzles and Diversions / Per. Yu. A. Danilova , ed. Da. A. Smorodinsky . - al 2-lea. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pook. Flexagons Inside Out  . — Cambridge University Press. — 182p. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pook. Distracție serioasă cu Flexagons : Compendiu și ghid  . - ediția 2009 (17 august 2009). — Springer. — 346 p. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Articole

Link -uri

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexagons  (engleză) (1962,2000,2003). — Articole despre flexagon în format PDF. Consultat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 13 august 2013.
  • Harold V. McIntosh. Experiențele  mele Flexagon . — Conține informații istorice și teorie valoroase; site-ul autorului are mai multe lucrări legate de flexagon enumerate în [1] . Consultat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 13 august 2013.
  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii