Forma Beauville-Bogomolov

Forma Beauville-Bogomolov (de asemenea Beauville-Bogomolov-Fujiki ) este o formă pătratică care există pe a doua coomologie a unei varietăți compacte hyperkähler . Numit după Arnaud Beauville și Fiodor Bogomolov . $H^{2}(X,{\mathbb {C}})$

Definiție

Fie un generator în , ales astfel încât (adică forma simplică a lui ). Atunci orice formă de 2 admite o descompunere în componente Hodge : . Definim forma patratică prin următoarea formulă: $\sigma$ $H^{{2,0}}(X,{\mathbb {C}})$ $\int _{{X}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n}}=1$ $\alpha =\lambda \sigma +\mu \overline {\sigma }+\beta ;\beta \in H^{{1,1}}(X)$

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{{X}}\beta ^{{2}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n-1}}$

Proprietățile formei Beauville-Bogomolov

Fie o deformare locală universală (baza sa va fi o minge). Apoi pentru suficient de aproape de , , (în ultima formulă denotă o formă biliniară simetrică construită conform formei pătratice definite mai sus). ${\mathfrak {X}}\la B$ $X$ $B$ $t\în B$ $0$ $q({\sigma }_{{t)))=0$ $q({\sigma }_{t},\overline {{\sigma }_{t)))>0$ $q$
O hartă care indică un punct către un punct corespunzător unei forme în proiectivizarea coomologiei a doua este, în plus, un izomorfism local cu un set de zerouri de formă ( teorema locală a lui Torelli ). $t\în B$ ${\sigma }_{t}$ ${\mathbb {P}}(H^{{2}}(X,{\mathbb {C))))$ $q$
$q|_{{H^{{2))(X,{\mathbb {R))))}$ este o formă nedegenerată a semnăturii , unde este al doilea număr Betti . $(3,b_{{2}}(X)-3)$ $b_{2}$
Relația lui Fujika : dacă , unde este o constantă care nu depinde de structura complexă pe (ci doar de topologia acesteia). $\alpha \in H^{{2}}(X,{\mathbb {R}});{q(\alpha )}^{{n}}=c\int _{{X}}{\alpha } ^{{2n}}$ $c$ $X$

Link -uri

Teorema Torelli globală pentru varietățile hyperkaehler , Misha Verbitsky