Bogomolov, Fedor Alekseevici

Fedor Bogomolov

Data nașterii	26 septembrie 1946 (76 de ani)( 26.09.1946 )
Locul nașterii	Moscova , SFSR rusă , URSS
Țară	URSS Rusia
Sfera științifică	matematica
Loc de munca	NRU HSE MIAN Institutul Courant de Științe Matematice [1] Universitatea din New York [2] [1]
Alma Mater	Universitatea de Stat din Moscova (Mekhmat)
Grad academic	Doctor în Științe Fizice și Matematice
Titlu academic	Profesor
consilier științific	S. P. Novikov

Fedor Alekseevich Bogomolov (n . 26 septembrie 1946 , Moscova ) este un matematician sovietic și american , cunoscut pentru lucrările sale despre geometria algebrică și teoria numerelor .

Profesor la Institutul Courant al Universității din New York, doctor în fizică și matematică. Membru al NAS USA (2022) [3] .

Biografie

Născut la 26 septembrie 1946 la Moscova . Fiul inginerului radio academicianul Alexei Fedorovich Bogomolov și fratele celebrului scriitor rus Andrei Alekseevich Molchanov .

În 1970 a absolvit Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova Lomonosov .

Din 1970 până în 1973, a fost student postuniversitar la Institutul de Matematică. V. A. Steklova (conducător - S. P. Novikov ), în 1974 și-a susținut teza. Din 1973 - cercetător la Institutul de Matematică. V. A. Steklova. Doctor în științe fizice și matematice (1983).

În 1994 a emigrat în Statele Unite , unde a devenit profesor la Institutul Courant de Matematică din New York.

Din noiembrie 2010 - Director științific al Laboratorului de Geometrie Algebrică și Aplicațiile sale , Facultatea de Matematică Şcoala superioară de economie din Moscova [4] .

F. A. Bogomolov este un vorbitor invitat la multe conferințe științifice internaționale. Din 2009 până în 2014 a fost redactor-șef al revistei Central European Journal of Mathematics ( Open Math. ), a fost membru al comitetului editorial al revistei Geometric and Functional Analysis .

Membru al Consiliului de Administrație al Institutului de Geometrie și Fizică Miami-Cinvestav-Campinas, Colaborare în America în Geometrie și Fizică [5] .

Realizări științifice

Primul articol, publicat în 1969 , a fost dedicat topologiei. La începutul anilor '70, Bogomolov a început cercetările în domeniul geometriei algebrice .

Bogomolov este un matematician larg citat care lucrează în domeniul geometriei algebrice; Cercetările sale despre varietățile Calabi-Yau , varietățile hyperkähler, teoria suprafețelor algebrice, mănunchiurile vectoriale stabile, geometria algebrică aritmetică stau la baza geometriei algebrice moderne și intersecțiile acesteia cu fizica teoretică (teoria corzilor).

F. A. Bogomolov este responsabil pentru o serie de rezultate puternice care determină dezvoltarea geometriei algebrice. Este autorul a peste 100 de lucrări științifice în matematică.

Lucrări care stau la baza geometriei hyperkähler

În 1973 și 1974, Bogomolov a publicat o serie de lucrări [6] [7] [8] în care a dat o demonstrație geometrică a teoremei de descompunere pentru varietăți Kähleriene compacte cu un mănunchi canonic banal , îmbunătățind rezultatul lui Calabi , dovedit doar sub asumarea numelui său conjectura . Dovada sa dovedit a fi incompletă, iar după soluția lui Yau la conjectura Calabi, teorema de descompunere a lui Bogomolov a fost respinsă în spiritul Calabi (dovada publicată de Beauville ). În același timp, ideile geometrice ale lui Bogomolov legate de teoria folierilor algebrice s-au dovedit a fi fructuoase în cercetările ulterioare în această direcție.

Spre deosebire de rezultatul lui Calabi, teorema de descompunere a lui Bogomolov conține nu două, ci trei clase de varietăți „elementare” cu o clasă canonică banală: stabil algebric (în terminologia modernă, soiuri stricte Calabi-Yau ) și Hamiltonian primitiv (în terminologia modernă, varietăți simplectice ireductibil holomorfic ). , sau varietăți hyperkähler). În 1978, Bogomolov a publicat un articol Hamiltonian Kahlerian multiples, care conținea o dovadă a conjecturii lui A. N. Tyurin , conform căreia fiecare varietate simplectică ireductibil holomorfică este o suprafață K3 . [9] Acest rezultat s-a dovedit a fi eronat: patru ani mai târziu, Fujiki și Beauville au arătat că schema Hilbert a punctelor de pe o suprafață K3 și varietatea Kummer generalizată a unei suprafețe abeliene sunt ireductibil de simple omomorfic.

În același timp, în acest articol, sub formă de lemă , se demonstrează teorema Bogomolov-Tian-Todorov pentru varietăți simplectice holomorf, care afirmă că orice deformare de ordinul întâi a unei varietăți hiperkähler se extinde până la o deformare analitică. În același loc, Bogomolov a remarcat că această teoremă ar putea fi demonstrată și pentru soiurile Calabi-Yau, ceea ce a făcut în preprintul IHES din 1981. Astăzi, această teoremă stă la baza teoriei fizice a simetriei oglinzii . În același articol , Varietăți hamiltoniene Kähleriene , este prezentată existența unei forme pătratice pe a doua coomologie a oricărei varietăți hiperkähleriene, care în cazul unei suprafețe K3 coincide cu forma de intersecție . Acum se numește forma Beauville-Bogomolov și este punctul de plecare pentru studiul algebrelor de coomologie ale varietăților hyperkähler compacte, întreprinse de Verbitsky și care culminează cu demonstrarea teoremei Torelli globale pentru varietățile hiperkähler.

În 1996, Bogomolov a descris exemplele lui Guan de varietăți simplectice holomorfe non-Kähler ca scheme Hilbert de puncte pe o suprafață Kodaira-Thurston . [10] Aceste varietăți au fost numite mai târziu varietăți Bogomolov-Guan , ele sunt în multe privințe similare cu varietățile hyperkähler - în special, ele admit o variantă a formei Beauville-Bogomolov.

Lucrările lui Bogomolov despre varietățile simplectice holomorf, scrise în a doua jumătate a anilor 2010, se ocupă în principal de automorfisme ale varietăților hiperkähler, [11] [12] [13] și au fost în colaborare cu diverși matematicieni (inclusiv Verbitsky și Kamenova ). Separat, este de remarcat articolul Fibrații lagrangiene pentru patru ori IHS , scris în colaborare cu Kurnosov , în care a fost rezolvată conjectura Matsushita pentru varietățile hiperkähler cu patru dimensiuni , afirmând că fibrațiile lagrangiene de pe ele nu au fibre multiple (când urmează că există o bază a unei astfel de fibrații ). [14] Cam în același timp, aceste rezultate au fost obținute de Huybrechts și Xu . [cincisprezece] $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2)$

Foliații și tensori simetrici holomorfi

În lucrarea din 1977 , „ Familii de curbe pe suprafețe de tip general ” [16] , Bogomolov a demonstrat că pe orice suprafață de tip general c există doar un număr finit de curbe de gen mărginit. Ideile acestei dovezi, bazate pe luarea în considerare a tensorilor holomorfi și a folierilor de pe astfel de suprafețe, au fost folosite mai mult de 20 de ani mai târziu de McQuillan [17] pentru a demonstra conjectura Green-Griffiths pentru astfel de suprafețe. ${\displaystyle c_{1}^{2}>c_{2))$

În lucrările ulterioare, în colaborare cu de Oliveira , Bogomolov a revenit din nou la studiul tensorilor simetrici holomorfi pe varietăți proiective. [18] [19] [20]

Suprafețe de clasa VII₀

În articolul din 1976 Clasificarea suprafețelor de clasă c $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ [21] , Bogomolov a studiat suprafețele din așa-numita clasă VII , suprafețe non-Kähler din clasificarea Kodaira-Enriques , a căror clasificare este încă incompletă. El a demonstrat că, în condiția , o acoperire finită a unei astfel de suprafețe admite o foliare holomorfă și, prin urmare, este fie o suprafață Hopf, fie o suprafață Inue . Cu excepția teoremei lui Bogomolov, singurul rezultat de clasificare pentru suprafețele de clasa VII este disponibil pentru cazul , care a fost obținut în 2005 de către Telemann . [22] $b_{2}=0$ $b_2 = 1$

În 2017, într-o lucrare comună cu Buonerba și Kurnosov , Bogomolov a simplificat semnificativ demonstrarea rezultatului său, bazându-se pe teoria grupurilor. [23]

Bunuri de vectori stabile

Bogomolov a fost printre primii geometri care au extins știința pachetelor de vectori stabile pe suprafețele Riemann (adică curbe algebrice) la varietăți algebrice de dimensiune superioară. Pe ele, conceptul de stabilitate poate fi definit în diferite moduri; instabilitatea lui Bogomolov pentru un mănunchi de rangul doi pe o suprafață algebrică se reduce la existența unei submulțimi finite (poate goale) și a unor fascicule de linii, astfel încât să existe un triplu exact de snopi , iar inegalitățile sunt valabile și pentru orice divizor amplu (o definiție similară). pot fi introduse în cazul pachetelor de rang superior). Teorema de instabilitate a lui Bogomolov [24] afirmă că dacă există o inegalitate asupra numerelor Chern , atunci pachetul este instabil. În lucrarea din 1978 Tensori holomorfi și mănunchiuri vectoriale pe varietăți proiective [25] , Bogomolov a derivat din aceste considerații ceea ce este acum cunoscut sub numele de inegalitatea Bogomolov-Miyaoka-Yau (cu constanta 4 în loc de 3). $E$ $X$ $Z\subset X$ $A,B$ $0\la A\la E\la B\otimes I_ {Z}\la 0$ $(AB)^{2}>0$ $(AB).H>0$ $H$ $c_{1}(E)^{2}>4c_{2}(E)$ $E$

Această lucrare demonstrează și următoarele

Teorema. Să fie o varietate proiectivă și să fie un subcoerent de rang unu. Apoi dimensiunea Iitake $X$ $L\subset \Omega ^{p)$ $\kappa (X,L)$ acest subsop nu depăşeşte . Mai mult, în cazul egalității, există un pachet peste o bază dimensională astfel încât . $p$ $\kappa (X,L)=p$ $p$ $f\coloan X\la Y$ $L=f^{*}(K_{Y})$

Aceasta este o generalizare a teoremei clasice de la Castelnuovo-de Francis , care afirmă că dacă două forme 1 holomorfe de pe o suprafață proiectivă sunt înmulțite cu zero, atunci această suprafață poate fi mapată pe o curbă în așa fel încât aceste două forme să fie ascensoare. a diferenţialelor abeliene pe această curbă. Pe baza acestei teoreme Bogomolov, Campana a introdus conceptul de subcopă Bogomolov , o subcopă saturată coerentă de rang unu într-un snop de forme holomorfe pe o varietate proiectivă a cărei dimensiune Iitaki este . Variatele care nu admit subsnopi Bogomolov se numesc Campana special . Ele servesc drept bloc de bază în proiectul încă incomplet al Campanei pentru a reprezenta fiecare varietate algebrică ca un pachet cu fibre speciale Campana peste un orbifold de tip general. Se presupune că proprietatea absenței subsopurilor Bogomolov este echivalentă cu o gamă largă de proprietăți, atât geometrice (dispărirea pseudometricului Kobayashi ), cât și teoretice numerice (pentru varietățile definite într-un subcâmp , densitatea punctelor Zariski definite peste o extensie finită fixă ; echivalența densității potențiale cu dispariția pseudometricului Kobayashi este o variantă a binecunoscutei conjecturi a lui Leng ). [26] $\Omega ^{p}$ $p$ $p>0$ $k\subset \mathbb {C}$ $k'\supset k$

Teoria invariantă și întrebările raționalității

Unul dintre punctele de plecare ale cercetării lui Bogomolov asupra raționalității varietăților algebrice este

Problema lui Noether . Fie un spațiu vectorial complex și un grup finit care acționează asupra lui. Este adevărat că un factor este o varietate rațională? $V$ $G$ $V/G$

De exemplu, pentru și , un grup simetric care acționează asupra acestuia prin permutarea axelor de coordonate, raționalitatea unui astfel de factor este o teoremă principală binecunoscută a teoriei polinoamelor simetrice . Exemple în care un astfel de factor nu este rațional au fost găsite în 1969 de Swan și în 1984 de Zaltman . Dovada acestui din urmă s-a bazat pe analiza grupului Brouwer a unui astfel de factor. Într-o lucrare din 1987 , The Brauer Group of Factor Spaces of Linear Representations [27] , Bogomolov a demonstrat că acest grup Brauer poate fi exprimat exclusiv în termeni de algebră: și anume, coincide cu un subgrup din a doua coomologie a grupului , constând din elemente limitate cu zero la toate subgrupurile abeliene din grup . Bogomolov a obținut un rezultat similar pentru reprezentările exacte ale grupurilor algebrice complexe (raționalitatea unora dintre acești factori a fost dovedită în lucrarea sa anterioară din 1985, în colaborare cu Katsylo [28] ). $V=\mathbb {C} ^{n}$ $G=\mathrm {Sym} (n)$ $B_{0}\subset H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $G$ $G$

Bogomolov a studiat, de asemenea, subgrupurile abeliene ale grupurilor absolute Galois de câmpuri de funcții meromorfe pe varietăți algebrice arbitrare, în special, a demonstrat că un subgrup abelian de rang mai mare decât unul este conținut într-un subgrup de ramificație (adică există o evaluare astfel că subgrupul este cuprins în subgrupul Galois , grupul Galois de completare a domeniului din prezentul regulament). [29] Aceste rezultate au fost ulterior întărite de el împreună cu Tschinkel . [30] [31] De asemenea, rezultate similare au fost obținute de acești doi matematicieni pentru varietăți peste câmpuri finite: se recuperează câmpul funcțiilor raționale pe o varietate algebrică de dimensiune mai mare decât una peste un câmp finit, până la o extensie pur inseparabilă. din factorul prin al doilea termen al seriei centrale inferioare de pro- - completări ale grupului Galois [32] (în caracteristica zero au demonstrat o teoremă privind restabilirea câmpului funcțiilor raționale din primul și al doilea Minlor K-grupuri ale acestuia ). [33] $\nu$ $\mathrm {Gal} (K_{\nu })\subset \mathrm {Gal} (K)$ $\ell$

Ipoteza lui Shafarevici

De la sfârșitul anilor 1990, Bogomolov a fost implicat și în studiul grupurilor fundamentale de varietăți Kähleriene . Un loc special în aceste studii îl ocupă conjectura formulată de I. R. Shafarevich : acoperirea universală a unei varietăți compacte Kähler este holomorf convexă (este mapată cu fibre compacte pe o varietate Stein ). Se crede că această presupunere este valabilă pentru varietăți proiective complexe cu grupuri fundamentale rezidual finite (adică acelea în care intersecția tuturor subgrupurilor de indice finit este un subgrup trivial). Bogomolov, în colaborare cu Katsarkov, a încercat să construiască suprafețe cu grupuri fundamentale ne-rezidual finite, obținându-le ca un mănunchi peste o curbă cu o fibră a unei curbe cu monodromie adecvată în jurul fibrelor singulare. Încălcarea limitei reziduale pentru astfel de grupuri ar fi similară cu soluția negativă a problemei Burnside , dar pentru factorii grupului de clasă de mapare a sferei cu mânere în loc de grupul liber. [34] [35] Aceste lucrări, totuși, nu au dat rezultate din cauza complexității extreme a chestiunii grupurilor fundamentale Kähler la care se reduc și al căror statut exact nu este complet clar [36]

Puncte raționale și geometrie aritmetică

Bogomolov a avansat o serie de presupuneri despre structura punctelor de torsiune pe curbele eliptice și varietăți abeliene . Următorul este cel mai simplu formulat.

Ipoteză. Fie , să fie două curbe eliptice și să fie proiecții standard care identifică perechi de puncte și . Apoi proiecțiile seturilor de puncte de torsiune către și fie coincid și și sau au cel mai mult puncte comune, unde este o constantă a priori. $E$ $e'$ $E,E'\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1)$ $X$ $-X$ $E$ $e'$ $E\simeq E'$ $B$ $B$

Această presupunere a fost dovedită de Laura de Marco , Holly Krieger și Ye Hexi . [37] Conjectura Bogomolov mai faimoasă este, de asemenea, legată de conjectura Manin-Mumford și afirmă că, pentru orice încorporare a unei curbe definite pe un câmp numeric în varietatea sa jacobiană , numărul de puncte de înălțime suficient de mică Nero-Severi se află pe această curbă este finită (deoarece punctele de torsiune sunt tocmai punctele de înălțime zero Nero-Severi, aceasta implică conjectura Manin-Mumford că numărul de puncte de torsiune de pe o curbă situată în varietatea sa jacobiană este finit). Această presupunere este dovedită de Yullmo și Zhang .

Rezultatele aritmetice ale lui Bogomolov, în colaborare cu Tschinkel și colab., se referă la densitatea potențială (adică la densitatea după o expansiune finită a câmpului de bază) a punctelor raționale de pe suprafețele Enriques [38] și suprafețele eliptice K3, [39] și densitatea curbelor raţionale pe suprafeţele K3. [40] [41] Mochizuki consideră că demonstrația lui Bogomolov a versiunii geometrice a conjecturii lui Spiro este cea mai apropiată de demonstrația sa a versiunii aritmetice a acestei conjecturi [42] (care folosește unele aparate neacceptate fără ambiguitate de comunitatea matematică).

Note

↑ 1 2 Library of Congress Authorities (engleză) - Library of Congress .
↑ https://math.nyu.edu/people/profiles/BOGOMOLOV_Fedor.html
↑ Alegeri NAS 2022 . Preluat la 9 mai 2022. Arhivat din original la 10 mai 2022. (nedefinit)
↑ Locul Laboratorului de Geometrie Algebrică și Aplicațiile sale . Consultat la 2 iunie 2012. Arhivat din original pe 17 iunie 2012. (nedefinit)
↑ Institutul de Geometrie și Fizică Miami-Cinvestav-Campinas . Preluat la 2 iunie 2012. Arhivat din original la 5 martie 2016. (nedefinit)
↑ F. A. Bogomolov, „Despre varietăți cu o clasă canonică trivială” , Uspekhi Mat. Nauk, 28:6(174) (1973), 193–194
↑ F. A. Bogomolov, „Varietăți kähleriene cu o clasă canonică trivială” , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 38:1 (1974), 11–21
↑ F. A. Bogomolov, „Despre descompunerea varietăților Kähleriene cu o clasă canonică trivială” , Mat. Sb., 93(135):4 (1974), 573–575
↑ F. A. Bogomolov, „Hamiltonian Kähler multiples” , Dokl. AN SSSR, 243:5 (1978), 1101–1104
↑ FA Bogomolov, „Despre exemplele lui Guan de varietati complexe compacte non-Kähler simple conectate”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 1037–1046
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, Misha Verbitsky. Despre pseudometricul Kobayashi, automorfismele complexe și varietățile hiperkaehler , 2016
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Misha Verbitsky. Varietățile algebrice hiperbolice au grupuri de automorfism finite Arhivat 30 ianuarie 2022 la Wayback Machine , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov, Alexandra Kuznetsova, Egor Yasinsky. Geometrie și automorfisme ale varietăților simplectice holomorfe non-Kähler Arhivat 1 noiembrie 2020 la Wayback Machine , 2020
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Fibrații lagrangiene pentru patru ori IHS Arhivat 22 mai 2021 la Wayback Machine , 2018
↑ Daniel Huybrechts, Chenyang Xu. Fibrații lagrangiene ale patru ori hiperkähler Arhivat 7 august 2020 la Wayback Machine , 2019
↑ F. A. Bogomolov, „Familii de curbe pe suprafețe de tip general” , Dokl. AN SSSR, 236:5 (1977), 1041–1044
↑ McQuillan, Michael (1998), Diophantine aproximations and foliations , Publications Mathématiques de l'IHÉS vol. 87: 121–174, doi : 10.1007/BF02698862 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1998_1_1998_17_ Arhivat pe 22 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Tensorii simetrici și geometria subvarietăților de $\mathbb {P} ^{N}$ Arhivat 2 februarie 2022 la Wayback Machine , 2006
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. 2-diferențiale simetrice închise de primul fel , 2013
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Structura locală a 2-diferențialelor simetrice închise , 2014
↑ F. A. Bogomolov, „Clasificarea suprafețelor de clasa c ” $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 40:2 (1976), 273–288
↑ Andrei Teleman, Donaldson Theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with , $b_{2}=1$ Inventiones Mathematicae 162, 493–521, 2005. MR : 2006i:32020
↑ Federico Buonerba, Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Clasificarea suprafețelor cu ajutorul teoriei grupurilor $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ Arhivat 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine , 2017
↑ Note din Math 252 -- Sisteme liniare și pozitivitatea pachetelor de vectori . Preluat la 27 august 2020. Arhivat din original la 13 noiembrie 2020. (nedefinit)
↑ F. A. Bogomolov, „Tensori holomorfi și mănunchiuri vectoriale pe varietăți proiective” , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 42:6 (1978), 1227–1287
↑ Frederic Campana. Soiuri speciale și teoria clasificării Arhivat 11 mai 2017 la Wayback Machine , 2001
↑ F. A. Bogomolov, „Grupul Brauer de spații coeficiente de reprezentări liniare” , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 51:3 (1987), 485–516
↑ F. A. Bogomolov, P. I. Katsylo, „Raționalitatea unor varietăți de coeficient” , Mat. Sb., 126(168):4 (1985), 584–589
↑ F. A. Bogomolov, „Subgrupurile abeliene ale grupurilor Galois” , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 55:1 (1991), 32–67
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Elemente de navetă în grupurile Galois de câmpuri funcționale Arhivat 6 aprilie 2022 la Wayback Machine , 2000
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Problema și descendența lui Noether , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel, „Reconstrucția câmpurilor de funcții de dimensiuni superioare” , Mosc. Matematică. J. 11:2 (2011), 185–204
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Milnor K_2 și homomorfisme de câmp , 2009
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Suprafețe proiective complexe și grupuri infinite , 1997
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Fibrații simplectice Lefschetz cu grupuri fundamentale arbitrare Arhivat 7 mai 2021 la Wayback Machine , 1998
↑ Carlos Simpson . Problema construcției în geometria Kähler
↑ Laura DeMarco, Holly Krieger, Hexi Ye. Uniform Manin-Mumford pentru o familie de curbe de genul 2 Arhivat 1 noiembrie 2020 la Wayback Machine , 2019
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Densitatea punctelor raționale pe suprafețele Enriques , 1998
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Densitatea punctelor raționale pe suprafețele eliptice K3 , 1999
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Curbe și puncte raționale pe suprafețele K3 , 2003
↑ Fedor Bogomolov, Brendan Hassett, Yuri Tschinkel. Construirea de curbe raționale pe suprafețele K3 , 2009
↑ Shinichi Mochizuki. DOVADA LUI BOGOMOLOV A VERSIUNII GEOMETRICE A CONJECTURII SZPIRO DIN PUNT DE VEDERE AL TEORIEI INTER-UNIVERSALE TEICHM ̈ULLER Arhivat 8 februarie 2020 la Wayback Machine , 2016

Link -uri

Site-uri tematice

În cataloagele bibliografice
BIBSYS: 3036010 BNF : 14514203b GND : 129921637 ISNI : 0000 0001 1763 2416 J9U : 987007454985405171 LCCN : n2001019243 NTA : 071472835 NUKAT : n2004000416 SUDOC : 079278612 VIAF : 51923039 WorldCat VIAF : 51923039