Formula Liouville-Ostrogradsky

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 iunie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Formula Liouville-Ostrogradsky este o formulă care leagă determinantul Wronsky (Wronskian) pentru soluțiile unei ecuații diferențiale și coeficienții din această ecuație.

Să existe o ecuație diferențială de formă

$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+.. .+P_{n}(x)y=0,$

atunci unde este determinantul Vronsky $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{ -\int P_{1}(x)dx},$ $W(x)$

Pentru un sistem liniar omogen de ecuații diferențiale

$y'(x)=A(x)y(x),$ unde este o matrice pătrată continuă de ordin , formula Liouville-Ostrogradsky este valabilă $Topor)$ $n$

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ unde este urma matricei ${\mathop {{\rm {tr}}}}A(x)$ $Topor)$

Regula de diferențiere pentru un determinant al dimensiunii 2

Derivata determinantului fata de variabila x are forma $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{{21}}(x)&a_{{22}} (x)\end{vmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$ ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_ {{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\ începe{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11} }&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatrix}}$

Regula de diferențiere a determinantului de dimensiune $n$

Lăsa $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x) \\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{ n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\puncte &a_{{nn}}(x)\\\end{matrice}}\dreapta)$

Atunci pentru derivată este adevărată $\Delta '(x)$

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\dots &a_{{1n}}'(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}( x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{ 12}}(x)&\puncte &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\puncte &a_{{2n}}' (x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\ \end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}' (x)&a_{{n2}}'(x)&\puncte &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$

(al -lea rând este diferențiat în --lea termen ) $i$ $i$

Dovada

Folosim formula pentru extinderea completă a determinantului

$\Delta (x)=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\ puncte ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)$

Suma este preluată peste toate permutările posibile ale numerelor , este paritatea permutării . $1,2,\dots ,n$ $P(\cdot )$

Diferențiând această expresie în raport cu , obținem $X$

${\begin{aliniat}[l]\Delta '(x)&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P( i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n }}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{ {2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\dots +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}( -1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1) ^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x) \cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}} (-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{aliniat}}$

În fiecare sumă, elementele rândului --lea sunt diferențiate și numai ele. Înlocuind sumele cu determinanți, obținem $i$

Dovada unei ecuații de ordinul doi

Fie funcțiile din ecuație să fie continue pe , și $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ $p(x),q(x)$ $[a;b]$

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ sunt soluții ale acestei ecuații.

Diferențiând determinantul Wronsky, obținem

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{{1}}'&y_{ {2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end {vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatrix}}$

Primul termen este 0, deoarece acest determinant conține 2 rânduri identice. Înlocuind

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

în al doilea mandat, primim

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'- qy_{2}\end{vmatrix}}$

Adăugând primul rând, înmulțit cu q, la al doilea, obținem

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}} =-pW$

soluțiile sunt liniar independente , deci

$W\neq 0\la {\frac {dW}{W}}=-pdx$ este o ecuație diferențială cu variabile separabile.

Integrarea, obținem

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\la \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x) dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Demonstrarea unui sistem liniar de ecuații diferențiale obișnuite

Fie funcțiile vectoriale soluții ale unui sistem liniar de EDO. Introducem matricea după cum urmează ${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\dots ,{{\mathbf y}}_{n}(x)$ $\Phi$

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\ puncte &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrice}}\right\|$

Apoi . Să folosim faptul că sunt soluții ale sistemului ODE, adică . $W(x)\equiv \det \Phi (x)$ $y_{i}(x)$ ${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$

Sub formă de matrice, acesta din urmă poate fi reprezentat ca $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\ mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrice}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}( x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrice}}\right\ |=A(x)\Phi(x)$

sau prin introducerea derivatei matricei ca matrice a derivatelor fiecărui element

$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$

Fie al -lea rând al matricei . Apoi $\varphi _{i}(x)$ $i$ $\Phi (x)$

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

Acesta din urmă înseamnă că derivata rândului --lea al matricei este o combinație liniară a tuturor rândurilor acestei matrice cu coeficienții din --lea rând al matricei . Se consideră determinantul matricei în care se diferențiază rândul --lea. Determinantul nu se schimbă dacă o combinație liniară a tuturor celorlalte rânduri este scăzută din al treilea rând al acestei matrice. $i$ $\Phi (x)$ $i$ $Topor)$ $\Phi (x)$ $i$ $i$

$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \ \\varphi _{n}(x)\\\end{matrice}}\right|=\left|{\begin{matrice}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x )\\\vdots \\\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n }(x)\\\end{matrice}}\right|=\left|{\begin{matrice}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \ \\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)-\sum _{{j\neq i}}a_{{ij} }(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrice}}\right|=\left|{\begin{matrix}\ varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\ varphi _{n}(x)\\\end{matrice}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$

Folosind formula de diferențiere a determinantului , obținem

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operatorname {tr}A(x)W(x)$

Ultima ecuație diferențială obișnuită are o soluție

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Demonstrație pentru o ecuație diferențială liniară de ordin arbitrar

Ecuație diferențială liniară de ordinul al-lea $n$

$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x )+P_{n}(x)y(x)=0$

este echivalent cu următorul sistem

${\begin{aligned}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\dots -P_{{n-1} }(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}} \\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{aliniat }}$

cu o matrice de forma următoare $Topor)$

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)& -P_{{n-1}}(x)&\dots &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matrice}}\dreapta)$

Wronskienii ecuației originale și ale sistemului coincid, iar urma matricei este . Prin substituirea în formula pentru sistem, obținem $Topor)$ $-P_{1}(x)$

$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int _{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Aplicarea formulei Liouville-Ostrogradsky

Fie cunoscută soluția unei ecuații diferențiale liniare ordinare de ordinul doi, adică . Folosind formula Liouville-Ostrogradsky, este posibil să găsiți o soluție a aceluiași sistem care este liniar independentă de acesta. $y_{1}(x)$ $n=2$ $y_{2}(x)$

Să scriem Wronskianul:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2 }}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$ de aceea

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int { \frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}$

Deoarece pentru independența liniară și este suficient , presupunând , obținem $y_{1}(x)$ $y_{2}(x)$ $W\neq 0$ $C=1,\,B=0$ $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Exemplu

Fie cunoscută o anumită soluție în ecuație . Folosind formula Liouville-Ostrogradsky, obținem $y''-{\mathop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$ $y_{1}=\sin x$

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx))))=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Apoi soluția generală a ecuației omogene $y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\ sin x$

Literatura folosită

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Ecuații diferențiale. Manual pentru licee. - M . : Editura MSTU im. Bauman , 1999. - 366 p. — (Matematică la Universitatea Tehnică; Vol. VIII).
Romanko VK Curs de ecuații diferențiale și calcul al variațiilor. - Ed. a II-a. - M . : Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2001. - 344 p.