Operator Fredholm

Un operator Fredholm , sau un operator Noetherian , este un operator liniar între spații vectoriale (de obicei de dimensiune infinită) al căror nucleu și cokernel sunt de dimensiuni finite. Cu alte cuvinte, fie X, Y spații vectoriale. Un operator se numește Fredholm dacă $T:X\la Y$

${\mathrm {dim}}\,\ker T<\infty$ ,
${\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T<\infty$ .

Un operator între spații cu dimensiuni finite este întotdeauna Fredholm.

De obicei, conceptul este luat în considerare pentru spațiile Banach și se presupune că operatorul este mărginit.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, în virtutea definiției sale, un operator Fredholm este întotdeauna rezolvabil în mod normal .

Index operator Fredholm

Pentru astfel de operatori, conceptul de index al operatorului are sens :

{\mathrm {ind}}\,T={\mathrm {dim}}\,\ker T-{\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T

Mai mult, pentru fiecare dat concret , există un operator Fredholm cu indice n. $n\în {\mathbb {Z}}$

Transformări ale operatorilor Fredholm

Adjunctul operatorului Fredholm este și Fredholm: . Mai mult, există o relație unu-la-unu între indicii acestor operatori: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{{'}}\in {\mathcal {N}}(Y^{{'}},\;X^{{ ')))$ ${\mathrm {ind}}\,T^{{'}}=-{\mathrm {ind}}\,T$
Compoziția operatorilor Fredholm este un operator Fredholm, iar indicele acestuia este ( teorema lui Atkinson ) ${\mathrm {ind}}\,TS={\mathrm {ind}}\,T+{\mathrm {ind}}\,S$
Perturbația compactă păstrează proprietatea Fredholm și indicele operatorului: $T\în {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\în {\mathcal {K}}(X,\;Y)\săgeată la dreapta T+S\in {\mathcal {N} }(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm {ind}}\,T$
Proprietatea Fredholm și indicele sunt de asemenea păstrate sub perturbații mărginite suficient de mici, adică . Cu alte cuvinte, mulțimea este deschisă în setul de operatori mărginiți. $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\există \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\| S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm { ind}}\,T$ ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$

Teorema lui Fredholm

K\în {\mathcal {K}}(X,\;X)\Rightarrow ({\mathrm {I_{X}}}-K)

este Fredholm (aici este operatorul de identitate pe X).

{\mathrm {I_{X))}

Criterii pentru a fi Fredholmian

Criteriul lui Noether: T este Fredholm dacă, dacă și numai dacă T este aproape inversabil , adică are un operator aproape invers.
Criteriul lui Nikolsky: T este Fredholm dacă și numai dacă T este descompunebil într-o sumă S+K, unde S este inversabil și K este compact . Sau, care este același: , unde este mulțimea operatorilor liniari reversibile . ${\mathcal {N}}(X,\;Y)={\mathrm {Inv}}(X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$ ${\mathrm {Inv}}(X,\;Y)$

Literatură

Kutateladze S. S. Fundamentele analizei funcționale. - Ed. a 3-a. - Novosibirsk: Editura Institutului de Matematică, 2000. - 336 p. — ISBN 5-86134-074-9 . .