Operator adia

Operatorul adjunct este o generalizare a conceptului de matrice conjugată Hermitiană pentru spații cu dimensiuni infinite.

Algebra liniară

Преобразование называется сопряжённым линейному преобразованию , если для любывается сопряжённым линейному преобразованию , если для любывается сопряжённым линейному преобразованию . У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой , если пределяется по матрице преобразования формулой , если пространств пространи пространство $\varphi ^{*}$ $\varphi$ $X$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right), y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ ${\ displaystyle a^{*} = \ gamma^{-1} a^{t} \ gamma}$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gamma$ $A^{*}=A^{T}$ $A^{*}={\bar {A}}^{T}$

Fie spații liniare și spații liniare conjugate (spații ale funcționalelor liniare definite pe ). Atunci pentru orice operator liniar și orice funcțional liniar este definită o funcțională liniară - o suprapunere a și : . Maparea se numește operator liniar adjunct și se notează cu . $E, \, l$ $E^{*},\,L^{*}$ $E, \, l$ $A\colon E\la L$ $g\în L^{*}$ $f\în E^{*}$ $g$ $A$ $f (x) = g (a (x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Pe scurt, unde este acțiunea funcționalului pe vector . $(A^{*} g, x) = (g, ax)$ $(B, X)$ $B$ $X$

Fie spații liniare topologice și spații liniare topologice conjugate (spații ale funcționalelor liniare continue definite pe ). Pentru orice operator liniar continuu și orice funcțională liniară continuă se definește o funcțională liniară continuă - suprapunerea și : . Este ușor să verificați dacă maparea este liniară și continuă. Se numește operator adjunct și se notează și . $E, \, l$ $E^{*},\,L^{*}$ $E, \, l$ $A\colon E\la L$ $g\în L^{*}$ $f\în E^{*}$ $g$ $A$ $f (x) = g (a (x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Spațiul Banach

Să notăm . $A\colon X\la Y$ $X$ $Y$ $X^{*}, y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $f$ $[AX, F]$ $X, [ax, f] \ in x^{*}$ $\ forall f \ in y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$ $[Ax, f] = [x, a^{*} f]$

$A^{*}$ se numeste operator adjunct . În mod similar, se poate defini un operator adjunct unui operator liniar nemărginit, dar acesta nu va fi definit pe întregul spațiu.

Для $A^{*}$ справедливы следующие свойства:

Operatorul este liniar. $A^{*}$
Dacă este un operator liniar continuu , atunci și un operator liniar continuu. $A$ $A^{*}$
Fie operatorul zero și operatorul unitar . $O$ $E$ $O^{*} = o, e^{*} = e$
$(A+b)^{*} = a^{*}+b^{*}$ .
$\ forall \ alpha \ in \ mathbb {c}, (\ alpha a)^{*} = {\ bar {\ alpha}} a^{*}$ .
$(Ab)^{*} = b^{*} a^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Hilbert Space

Iată produsul scalar din spațiu . $H$ $A \ colon h \ la h$ $(Ax, y) = (x, a^{*} y)$ $A^{*}\colon H\to H$ $(X y)$ $H$

Vezi și

Operator Hermitian

Note

↑ Se presupune că spațiile sunt complexe $X Y$

Literatură

— M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Analiza funcțională și aplicațiile sale în mecanica continuumului. — 320 s.
— M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
— M .: Nauka , 1972 . — 544 p.
— 264 p.
Shilov G.E. Analiza matematică (funcţiile unei variabile), partea 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 p.
Weinberg M. M. Analiza funcțională. - m.: Educație, 1979. - 128 p.