Matricea fundamentală

Matricea fundamentală a unui sistem de ecuații diferențiale liniare omogene este o matrice ale cărei coloane formează sistemul fundamental de soluții al acestui sistem [1] .

Matricea fundamentală, normalizată în punctul , se deosebește de mulțimea tuturor matricelor fundamentale ale sistemului dat prin condiția , unde este matricea de identitate și se numește matricea . $t_0$ $\F(t)$ $F(t_{0})=E$ $E$

Determinantul unei matrice fundamentale se numește Wronskian și este notat . O proprietate importantă a lui Wronskian a unei matrice fundamentale este că nu dispare în niciun moment. $F(t)$ $W_{F}(t)$

Criteriul fundamentalității

Alături de un sistem liniar omogen de ecuații diferențiale

{\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)

luați în considerare ecuația matriceală corespunzătoare

{\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)

unde este o matrice pătrată necunoscută. $X=X(t)$

Teorema. Funcția-matrice dată este matricea fundamentală a sistemului liniar de ecuații diferențiale (1) dacă și numai dacă este o soluție a ecuației matriceale (2) și are un determinant diferit de zero într-un punct (arbitrar). $X=F(t)$

Dovada. Rețineți că funcția matriceală va fi o soluție a ecuației matriceale (2) dacă și numai dacă oricare dintre coloanele sale este o soluție a sistemului liniar omogen (1). Într-adevăr, egalitatea coloanelor cu numerele din partea stângă și dreaptă a ecuației matriceale (2) are forma , care coincide cu sistemul liniar omogen (1). Acum, criteriul formulat rezultă din definițiile și proprietatea lui Wronskian menționate mai sus , deoarece independența liniară a coloanelor unei matrice este echivalentă cu diferența determinantului acestei matrice de la zero. $X=F(t)$ $\varphi_k$ $k$ $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$

Note

↑ Enciclopedia de matematică , Ed. colegiu: I. M. Vinogradov (șef redactor) [și alții] M., „Enciclopedia Sovietică”, 1977-1985.

Literatură

Arnold V. I. Ecuații diferențiale ordinare. — M.: Nauka, 1966.
Petrovsky IG Prelegeri despre teoria ecuațiilor diferențiale ordinare. — M.: Nauka, 1970.
Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare. — M.: Nauka, 1974.