Funcțiile Krylov

Funcțiile Krylov ( funcțiile Krylov-Duncan [1] ) este un sistem de patru funcții reprezentând soluția generală a unei ecuații diferențiale :

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay$ .

(unu)

Soluția generală a ecuației (1) la este exprimată ca o combinație liniară a patru funcții: $a\geq 0$

y(x)=C_{1}\cdot \operatorname {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operatorname {K} _{2}(\beta x)+ C_{3}\cdot \operatorname {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operatorname {K} _{4}(\beta x)

unde . $\beta ={\sqrt[{4}]{a))$

De obicei, , , și sunt folosite ca funcții , , , , dar în problemele de teoria elasticității se folosesc funcții , , , de o formă specială, numite funcții Krylov în onoarea matematicianului A. N. Krylov , care a aplicat aceste funcții pentru a descrie îndoirea. a unei grinzi aşezate pe o fundaţie elastică [2] . Uneori sunt notate prin simboluri , , , [3] . $\operatorname {K} _{1}(x)$ $\operatorname {K} _{2}(x)$ $\operatorname {K} _{3}(x)$ $\operatorname {K} _{4}(x)$ $e^{x}$ $e^{-x}$ $\sin x$ $\cos x$ $\operatorname {K} _{1}(x)$ $\operatorname {K} _{2}(x)$ $\operatorname {K} _{3}(x)$ $\operatorname {K} _{4}(x)$ $\operatorname {S} (x)$ $\operatorname {T} (x)$ $\operatorname {U} (x)$ $\operatorname {V} (x)$

Ele au fost introduse independent de omul de știință englez W. J. Duncan [4] .

Definiție

Funcțiile Krylov sunt exprimate după cum urmează: [3]

\operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x+\cos x)

\operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x+\sin x)

\operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x-\cos x)

\operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x-\sin x)

Principala proprietate a funcțiilor Krylov este că derivata oricăreia dintre ele dă cea anterioară:

\operatorname {K} _{1}(x)=\operatorname {K} _{2}'(x)=\operatorname {K} _{3}''(x)=\operatorname {K} _{4}'''(x)=\operatorname {K} _{1}^{IV}(x)

În plus, sunt îndeplinite următoarele condiții inițiale: la , prima funcție este egală cu 1, iar toate celelalte sunt egale cu 0: $x=0$

\operatorname {K} _{1}(0)=1

, .

\operatorname {K} _{2}(0)=\operatorname {K} _{3}(0)=\operatorname {K} _{4}(0)=0

Funcții Krylov-Vlasov

Când , soluția ecuației (1) este exprimată în termeni de funcții $a<0$

\operatorname {\Phi} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x

\operatorname {\Phi} _{2}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \sin x

\operatorname {\Phi} _{3}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \cos x

\operatorname {\Phi} _{4}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \sin x

care se numesc funcţiile Krylov-Vlasov [5] în onoarea lui V.Z. Vlasov . Soluția generală a ecuației (1) la este o combinație liniară de patru funcții (at ), unde . $a<0$ $\operatorname {\Phi} _{i}(\beta x)$ $i=1,2,3,4$ $\beta ={\sqrt[{4}]{-a/4))$

Mai des, la rezolvarea problemelor, se folosesc diverse combinații de funcții Krylov-Vlasov, care sunt numite și funcții Krylov: [6] [7]

\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x=\operatorname {\Phi } _{1}(x)

\operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)+\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)

\operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operatorname {\Phi }_{2}(x)

\operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \ cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)-\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)

Principalele proprietăți ale funcțiilor Krylov sunt aproape păstrate în acest caz:

\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {V} _{2}'(x)=\operatorname {V} _{3}''(x)=\operatorname {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operatorname {V} _{1}^{IV}(x)

\operatorname {V} _{1}(0)=1

, .

\operatorname {V} _{2}(0)=\operatorname {V} _{3}(0)=\operatorname {V} _{4}(0)=0

Vezi și

Note

↑ I. A. Karnovsky, O. Lebed. 14.4.3 Metoda Krylov-Duncan // Metode avansate de analiză structurală . - 201. - S. 543-545. — 593 p. Arhivat pe 19 aprilie 2017 la Wayback Machine
↑ Yu.I. Vinogradov. Cauchy–Krylov funcționează în calculele pentru rezistența plăcilor și a carcasei . - 2013. - Nr 8 . - S. 15-19 . Arhivat din original la 1 februarie 2017.
↑ 1 2 Biderman V.L. Teoria vibrațiilor mecanice . - M . : Şcoala superioară, 1980. - S. 150. - 408 p. Arhivat 13 aprilie 2013 la Wayback Machine Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 10 decembrie 2011. Arhivat din original la 13 aprilie 2013. (nedefinit)
↑ Duncan, WJ Oscilațiile libere și forțate ale fasciculului continuu prin metoda admiterii // Philosophical Magazine . - 1943. - Vol. 34 , nr. 228 .
↑ Freidin A.S. Rezistența și durabilitatea îmbinărilor adezive . - a 2-a revizuire. şi suplimentare .. - M . : Chimie, 1981. - S. 96-97. — 272 p.
↑ Boyarshinov S.V. §3. Învelișuri cilindrice scurte axisimetrice încărcate // Fundamentele mecanicii structurale a mașinilor . - M . : Mashinostroenie, 1973. - S. 326. - 456 p.
↑ Kolosova G.S. Aplicarea funcțiilor lui A. N. Krylov pentru rezolvarea problemelor de mecanică structurală // Construcția de clădiri și structuri unice. - 2013. Arhivat la 2 februarie 2017.

Literatură

Krylov A.N. La calculul grinzilor situate pe o fundație elastică. L.: AN SSSR, 1931. 154 p.