Funcții trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt funcții elementare [1] , care au apărut istoric atunci când se consideră triunghiuri dreptunghiulare și exprimau dependența lungimilor laturilor acestor triunghiuri de unghiurile ascuțite la ipotenuză (sau, echivalent, dependența acordurilor și înălțimii de unghiul central ). a arcului într-un cerc ). Aceste funcții au găsit o largă aplicație în diverse domenii ale științei. Pe măsură ce matematica s-a dezvoltat, definiția funcțiilor trigonometrice a fost extinsă, în sensul modern, argumentul lor poate fi un număr real sau complex arbitrar .

Ramura matematicii care studiază proprietățile funcțiilor trigonometrice se numește trigonometrie .

Funcțiile trigonometrice sunt denumite în mod tradițional ca:

funcții trigonometrice directe:

sinus ( ); $\sin x$
cosinus ( ); $\cos x$

funcții trigonometrice derivate:

tangentă ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
cotangent ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

secant ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
cosecant ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

functii trigonometrice inverse :

arcsinus, arccosinus etc.

În tipografia literaturii în diferite limbi, abrevierea pentru funcțiile trigonometrice este diferită, de exemplu, în literatura engleză, tangente, cotangente și cosecante sunt notate cu , , . Înainte de cel de-al Doilea Război Mondial, în Germania și Franța, aceste funcții erau desemnate în același mod în care se obișnuiește în textele în limba rusă [2] , dar apoi în literatura în limbile acestor țări, versiunea în limba engleză a a fost adoptată înregistrarea funcţiilor trigonometrice. $\tan x$ $\cot x$ $\csc x$

Pe lângă aceste șase funcții trigonometrice binecunoscute, unele funcții trigonometrice rar utilizate ( versinus , etc.) sunt uneori folosite în literatură.

Sinusul și cosinusul unui argument real sunt funcții cu valori reale periodice, continue și infinit derivabile . Restul de patru funcții de pe axa reală sunt, de asemenea, cu valoare reală, periodice și diferențiabile la infinit, cu excepția unui număr numărabil de discontinuități de al doilea fel : pentru tangenta și secanta la puncte și pentru cotangente și cosecante, la puncte . Graficele funcțiilor trigonometrice sunt prezentate în fig. 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Modalități de a determina

Definiție pentru colțuri ascuțite

În geometrie, funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit sunt determinate de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic [3] . Fie - dreptunghiular, cu unghi ascuțit și ipotenuză . Apoi: $\triunghi AOB$ $\angle AOB=\alpha$ $OB$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (sinusul unghiului este raportul catetului opus față de ipotenuză ); $\alfa$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (cosinusul unghiului este raportul catetei adiacente la ipotenuza ) ; $\alfa$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (tangenta unghiului este raportul dintre catelul opus față de cel alăturat); $\alfa$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (cotangenta unui unghi este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus); $\alfa$
$\mathrm {sec} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (secanta unghiului este raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent ); $\alfa$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (cosecanta unui unghi este raportul dintre ipotenuză și catetul opus ). $\alfa$

Această definiție prezintă un oarecare avantaj metodologic, deoarece nu necesită introducerea conceptului de sistem de coordonate, dar și un dezavantaj atât de major încât este imposibil să se determine funcții trigonometrice chiar și pentru unghiuri obtuze, care trebuie cunoscute la rezolvarea unor probleme elementare despre triunghiuri obtuze. (Vezi: teorema sinusului , teorema cosinusului ).

Definiție pentru orice unghi

De obicei funcțiile trigonometrice sunt definite geometric [4] . În sistemul de coordonate carteziene pe plan, construim un cerc de rază unitară ( ) centrat la originea coordonatelor . Vom considera orice unghi ca o rotație de la direcția pozitivă a axei absciselor la o anumită rază (alegem un punct de pe cerc), în timp ce sensul de rotație este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic și negativ în sensul acelor de ceasornic. Notăm abscisa punctului , și ordonata - (vezi figura 2 ). $R=1$ $O$ $OB$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

Definim funcțiile după cum urmează:

$\sin \alpha =y_{B}$ , ; $\cos \alpha =x_{B}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
$\sec \alpha ={\frac {1}{x_{B}}}$ , . $\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B}}}$

Este ușor de observat că o astfel de definiție se bazează și pe relațiile unui triunghi dreptunghic, cu diferența că se ia în considerare semnul ( ). Prin urmare, funcțiile trigonometrice pot fi definite și pe un cerc de rază arbitrară , dar formulele vor trebui normalizate. Figura 3 prezintă valorile funcțiilor trigonometrice pentru cercul unitar . $\pm 1$ $R$

În trigonometrie, se dovedește a fi convenabil să numărați unghiurile nu în grade, ci în radiani . Deci, unghiul la va fi scris ca lungimea unui cerc unitar . Unghiul la este egal, respectiv, și așa mai departe. Rețineți că unghiul care diferă de cel din figură este echivalent cu , deci concluzionăm că funcțiile trigonometrice sunt periodice. $360^{\circ )$ $2\pi$ $180^{\circ }$ $\pi$ $2\pi$ $\alfa$ $\alfa$

În cele din urmă, definim funcțiile trigonometrice ale unui număr real ca funcții trigonometrice ale unui unghi a cărui măsură în radian este . $X$ $X$

Definiție ca soluții de ecuații diferențiale

Sinusul și cosinusul pot fi definite ca singurele funcții ale căror derivate secunde sunt egale cu funcțiile în sine, luate cu semnul minus:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

Adică, setați-le ca soluții pare (cosinus) și impare (sinus) ale ecuației diferențiale

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

cu condiţii suplimentare: pentru cosinus şi pentru sinus. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definiție ca soluții ale ecuațiilor funcționale

Funcțiile cosinus și sinus pot fi definite [5] ca soluții ( și, respectiv) ale sistemului de ecuații funcționale : $f$ $g$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.$

in conditii suplimentare:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ iar la . $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$

Definiție în termeni de serie

Folosind geometria și proprietățile limitelor, se poate demonstra că derivata sinusului este egală cu cosinusul și că derivata cosinusului este egală cu minus sinusul. Apoi puteți folosi teoria seriei Taylor și reprezentați sinusul și cosinusul ca serii de putere:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Folosind aceste formule, precum și egalități și se pot găsi extinderi în serie ale altor funcții trigonometrice: $\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ $\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

Unde

B_{n}

sunt numerele Bernoulli ,

E_{n}

sunt numerele lui Euler .

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unele unghiuri

Valorile sinusului, cosinusului, tangentei, cotangentei, secantei și cosecantei pentru unele unghiuri sunt date în tabel. (" " înseamnă că funcția în punctul specificat nu este definită și tinde spre infinit în vecinătatea sa ). $\infty$

radiani	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
grade	$0^{\circ )$	$30^{\circ )$	$45^{\circ )$	$60^{\circ )$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	$180^{\circ )$	$270^{\circ )$	$360^{\circ )$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$unu$	$0$	$-unu$	$0$
$\cos\alpha$	$unu$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$0$	$-unu$	$0$	$unu$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$0$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$	$\sqrt{3}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$unu$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$unu$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-unu$	$\infty$	$unu$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$unu$	$\infty$	$-unu$	$\infty$

Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor non-standard

radiani	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
grade	$120^{\circ )$	$135^{\circ )$	$150^{\circ )$	$210^{\circ )$	$225^{\circ }$	$240^{\circ )$	$300^{\circ )$	$315^{\circ )$	$330^{\circ )$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos\alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-unu$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$unu$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-unu$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-unu$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$unu$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-unu$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$

radiani	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
grade	$15^{\circ )$	$18^{\circ )$	$22{,}5^{\circ )$	$36^{\circ )$	$54^{\circ )$	$67{,}5^{\circ )$	$72^{\circ )$	$75^{\circ )$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)})){2)}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}})){2}}$
$\cos\alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}})){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)})){2)}$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}))$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3)}))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}))$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}))$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3)}))$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3)}))$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}))$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3)}))$

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru alte unghiuri

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{3}) {5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3 }(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5))))){2},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1,5^\circ = \operatorname{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\sqrt{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\în \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\în \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

Proprietățile funcțiilor trigonometrice

Cele mai simple identități

Întrucât sinusul și cosinusul sunt, respectiv, ordonata și abscisa punctului corespunzător unghiului α pe cercul unitar , atunci, conform ecuației cercului unitar ( ) sau teoremei lui Pitagora , avem: $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Această relație se numește identitatea trigonometrică de bază .

Împărțind această ecuație la pătratul cosinusului și, respectiv, al sinusului, obținem:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sec} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Din definiția tangentei și cotangentei rezultă că

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Orice funcție trigonometrică poate fi exprimată în termenii oricărei alte funcții trigonometrice cu același argument (până la un semn din cauza ambiguității expansiunii rădăcinii pătrate). Următoarele formule sunt corecte pentru : $0<x<\pi /2$

	păcat	cos	tg	ctg	sec	cauză
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x)))$	${\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1)))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)} {\sec x)}$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x))$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x)))$	$\,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1)))$	$\,{\frac {1}{\sec x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\operatorname {tg} x=$	$\,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatorname {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1)}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1)))$
$\,\operatorname {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	$\,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}))$	$\,{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}$	$\,\operatorname {ctg} x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}))$	$\,{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))$
$\,\sec x=$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}))$	$\,{\frac {1}{\cos x)}$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,\sec x$	$\,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1)))$
$\,\operatorname {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x)}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}))$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}$	$\,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}))$	$\,\operatorname {cosec} x$

Continuitate

Sinus și cosinus sunt funcții continue .
Tangenta și secanta au puncte de întrerupere , unde este orice număr întreg . $\pi /2+\pi k$ $k$
Cotangenta și cosecanta au puncte de discontinuitate , unde este orice număr întreg . $\pik$ $k$

Paritate

Cosinus și secanta sunt pare . Cele patru funcții rămase sunt impare , adică:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodicitate

Funcțiile sunt periodice cu punct , funcțiile și sunt cu punct . $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ $\mathrm {tg} \,x$ $\mathrm {ctg} \,x$ $\pi$

Formule de turnare

Formulele de reducere se numesc formule de următoarea formă:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha).

Aici - orice funcție trigonometrică, - cofuncția ei corespunzătoare (adică cosinus pentru sinus, sinus pentru cosinus, tangentă pentru cotangentă, cotangentă pentru tangentă, secanta pentru cosecantă și cosecantă pentru secantă), - un număr întreg . Funcția rezultată este precedată de semnul pe care funcția inițială îl are într-un sfert de coordonate dat, cu condiția ca unghiul să fie ascuțit, de exemplu: $f$ $g$ $n$ $\alfa$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

sau ce este la fel:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Câteva formule de turnare:

$\alfa$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$2\,\pi - \alpha$
$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$

Formulele de reducere de interes pot fi obținute cu ușurință și luând în considerare funcții pe cercul unitar.

Formule de adunare și scădere

Valorile funcțiilor trigonometrice ale sumei și diferenței a două unghiuri:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg }\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},

\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg }\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Formule similare pentru suma a trei unghiuri:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Formule pentru unghiuri multiple

Formule cu unghi dublu:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\ ,\alfa},

\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\ ,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

Formule cu unghi triplu:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,

\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg} ^2\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2 \,\alpha - 1}.

Alte formule pentru mai multe unghiuri:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),

\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,

\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname {tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg }^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},

\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg }^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

rezultă din formula complementului și formula Gauss pentru funcția gamma .

Din formula lui De Moivre se pot obține următoarele expresii generale pentru unghiuri multiple:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ păcat^{2k}\alpha,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)}{\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

unde este partea întreagă a numărului , este coeficientul binom . $[n]$ $n$ $\binom{n}{k}$

Formule cu jumătate de unghi:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Lucrări

Formule pentru produsele funcțiilor a două unghiuri:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alpha+\beta)},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Formule similare pentru produsele sinusurilor și cosinusurilor a trei unghiuri:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) ) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Formulele pentru produsele tangentelor și cotangentelor a trei unghiuri pot fi obținute prin împărțirea părților din dreapta și din stânga egalităților corespunzătoare prezentate mai sus.

Grade

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ operatorname {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {sin}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},

\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},

\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Sume

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta {2)}\cos {\frac {\alpha \mp \beta} {2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2)}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta} {2)}\sin {\frac {\alpha -\beta} {2)),

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta )),

\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta = {\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta )),

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Există o vedere:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

unde unghiul se găsește din relațiile: $\phi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2)}))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2)})).

Substituție trigonometrică universală

Toate funcțiile trigonometrice pot fi exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x)}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ nume operator {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Investigarea funcțiilor în analiza matematică

Descompunerea în produse infinite

Funcțiile trigonometrice pot fi reprezentate ca un produs infinit de polinoame:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\dreapta),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\dreapta).

Aceste relații sunt valabile pentru orice valoare de . $X$

Fracții continuate

Extinderea tangentei într-o fracție continuă :

\mathop {\rm {tg)} x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Derivate și antiderivate

Toate funcțiile trigonometrice sunt diferențiabile continuu și nedefinit pe întregul domeniu de definiție:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x ,$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatorname {tg} x,$

$( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Integralele funcțiilor trigonometrice din domeniul definiției sunt exprimate în termeni de funcții elementare astfel [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Funcții trigonometrice ale argumentului complex

Definiție

Formula lui Euler :

e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .

Formula lui Euler face posibilă definirea funcțiilor trigonometrice ale argumentelor complexe în termeni de exponent , prin analogie cu funcțiile hiperbolice , sau (folosind seria ) ca o continuare analitică a omologilor lor reali:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \operatorname{ch}iz;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

Unde

i^{2}=-1.

În consecință, pentru x real :

\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).

Sinusul și cosinusul complex sunt strâns legate de funcțiile hiperbolice :

\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,yi\sin x\,\operatorname {sh} \,y.

Majoritatea proprietăților de mai sus ale funcțiilor trigonometrice sunt păstrate și în cazul complex. Câteva proprietăți suplimentare:

sinus și cosinus complexe, spre deosebire de cele reale, pot lua valori arbitrar mari în valoare absolută;
toate zerourile sinusului și cosinusului complex se află pe axa reală.

Grafice complexe

Următoarele diagrame arată planul complex și valorile caracteristicilor evidențiate în culoare. Luminozitatea reflectă valoarea absolută (negrul este zero). Culoarea se schimbă de la argument și unghiul conform hărții .

Funcții trigonometrice în plan complex


$\sin \,z$	$\cos\,z$	$\operatorname {tg} \,z$	$\operatorname {ctg} \,z$	$\sec \,z$	$\operatorname {cosec} \,z$

Istoria numelor

Linia sinusoidală (linia din Fig. 2 ) a fost numită inițial de către matematicienii indieni „arha-jiva” („jumătate de coardă”, adică jumătate din coarda acestui arc, deoarece un arc cu o coardă seamănă cu un arc cu un arc). coarda arcului ). Apoi cuvântul „arha” a fost abandonat și linia sinusoială a fost numită pur și simplu „jiva”. Matematicienii arabi, care traduceau cărți indiene din sanscrită , nu au tradus cuvântul „jiva” cu cuvântul arab „vatar”, care desemnează coarda arcului și coarda, ci l-au transcris cu litere arabe și au început să numească linia sinusoidală „jiba” ( جيب ‎) . Deoarece vocalele scurte nu sunt indicate în arabă , iar „și” lung din cuvântul „jiba” este indicat în același mod ca și semivocala „y”, arabii au început să pronunțe numele liniei sinusurilor ca „jib”. care înseamnă literal „depresie”, „sân”. La traducerea lucrărilor arabe în latină , traducătorii europeni au tradus cuvântul „jaib” cu cuvântul latin sinus – „ sinus ”, care are același sens (în acest sens este folosit ca termen anatomic sinus ). Termenul „ cosinus ” ( lat. cosinus ) este o abreviere pentru lat. complementi sinus - sine suplimentar . $AB$

Abrevieri moderne introduse de William Oughtred și Bonaventura Cavalieri și consacrate în scrierile lui Leonhard Euler . $\păcat$ $\cos$

Termenii „ tangent ” ( lat. tangens – atingere) și „ sekans ” ( lat. secans – secant) au fost introduși de matematicianul danez Thomas Fincke în cartea sa Geometry of the Round (Geometria rotundi, 1583).

Termenul de funcții trigonometrice a fost introdus de Klugel în 1770 .

Mai târziu, au fost introduși și termenii pentru funcțiile trigonometrice inverse - arcsinus , arccosinus , arctangent , arccotangent , arcsecant , arccosecant - prin adăugarea prefixului „ arc ” (din latină arcus - arc), - J. Lagrange și alții.

Vezi și

Literatură

Bermant A. F., Lyusternik L. A. Trigonometrie. — M.: Nauka, 1967.
Funcții trigonometrice - articol din Marea Enciclopedie Sovietică . - M.: Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Trigonometrie rectilinie // Manual de matematică . - Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: M.: AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight GB Funcții trigonometrice // Tabele de integrale și alte formule matematice. - a 4-a ed. - M . : Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kozheurov P.A. Trigonometrie. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevici A.I. Sinusuri mari. — M.: Nauka, 1974.
Enciclopedie matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov. - M .: Enciclopedia Sovietică, 1984. - I. M. Vinogradov. Funcții trigonometrice // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
Funcții trigonometrice // Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician / Ed. colegiu, Gnedenko B.V. (redactor-șef), Savin A.P. şi alţii - M .: Pedagogie , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 p., ill. - ISBN 5-7155-0218-7 (pag. 342 , 343 - tabele de funcții trigonometrice 0 ° -90 °, inclusiv în radiani)
Funcții trigonometrice // Manual de matematică (pentru școlile secundare) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - ed. a III-a. — M.: Nauka, Ch. ediţia Phys.-Math. Literatură, 1983. - S. 240-258. — 480 s.

Link -uri

GonioLab - cerc unitar clarificat, funcții trigonometrice și hiperbolice (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Funcții trigonometrice (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Calculator online: calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice (inclusiv găsirea unghiurilor unui triunghi după laturi)
Harta interactivă a valorilor funcțiilor trigonometrice
Tabele trigonometrice (0° - 360°)
„Sinusul și cosinusul sunt procente” - Cum să înveți trigonometria în mod intuitiv | BetterExplained _

Note

↑ Manual: Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (pentru oameni de știință și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p. O copie de arhivă din 19 ianuarie 2015 pe Wayback Machine le listează ca caracteristici speciale .
↑ Semn matematic. // Marea enciclopedie sovietică . 1-a ed. T. 27. - M., 1933.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 271-272.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 282-284.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice. Partea 1. - M . : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ În formulele care conțin un logaritm în partea dreaptă a egalităților, constantele de integrare sunt , în general, diferite pentru diferite intervale de continuitate. $\scriptstyle C$

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 12168469v GND : 4186137-1 J9U : 987007548881405171 LCCN : sh85137518 NDL : 00570156 NKC : ph923034

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate