Funcțiile cilindrului parabolic

Funcții cilindrice parabolice ( funcții Weber ) este o denumire comună pentru funcțiile speciale care sunt soluții ale ecuațiilor diferențiale obținute prin aplicarea metodei de separare a variabilelor pentru ecuațiile de fizică matematică , cum ar fi ecuația Laplace , ecuația Poisson , ecuația Helmholtz etc. sistem de coordonate al cilindrului parabolic .

În cazul general, funcțiile unui cilindru parabolic sunt soluții ale următoarei ecuații

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

Când se efectuează o schimbare liniară a variabilei în această ecuație, se obține următoarea ecuație:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

ale căror soluții se numesc funcții Weber și se notează $D_{\nu }(z).$

Funcțiile sunt soluții ale ecuației Weber, iar pentru un neîntreg funcțiile sunt liniar independente. Pentru că toate funcțiile sunt și liniar independente. $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz), D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

În practică, se folosesc adesea alte funcții cilindrice parabolice - funcțiile Hermite , care sunt soluții ale ecuației Hermite , care se obține din înlocuire . $(unu)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

Funcțiile Hermite sunt notate prin soluția generală a ecuației $H_{\nu }(z).$ $(2):$

y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2));{\frac {1}{} 2}};z^{2}\dreapta),

unde este o funcție hipergeometrică degenerată . $\Phi \left(\alpha;\beta;z\right)$

Pentru un întreg nenegativ , funcția Hermite coincide cu polinomul Hermite . Pentru un întreg negativ , funcția Hermite este exprimată în formă închisă în termeni de funcție de eroare . $\nu$ $\nu$

Relații recurente și formule de diferențiere

Relații recurente

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\dreapta)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu }(z)

Formule de diferențiere

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{{\nu -1} }(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}}(z)

Reprezentări integrale

Comportament asimptotic

La origine

La infinit

Literatură

Whittaker, Watson. Curs de analiză modernă, 1963, volumul 2
Bateman, Erdeyi Higher Transcendentale Functions, volumul 2

HF Weber , " Über die Integration der partillen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+k^{2 }u=0

Link -uri

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Forms, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. capitolul 19 .
Weisstein, Eric W. Funcția cilindrului parabolic. De la MathWorld--O resursă web Wolfram.
Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. De la MathWorld--O resursă web Wolfram.