Polinoame Hermite

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Polinoame Hermite
informatii generale
Formulă	$H_{n}(x)=\sum _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n) -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Produs scalar	$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Domeniu	$x\în R$
caracteristici suplimentare
Ecuație diferențială	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Normă	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi )))}$
Numit după	Charles Hermite

Polinoamele Hermite sunt un anumit tip de succesiune de polinoame ale unei variabile reale. Polinoamele Hermite apar în teoria probabilităților , în combinatorică și în fizică .

Numit după matematicianul francez Charles Hermite .

Definiție

În teoria probabilității, polinoamele Hermite sunt de obicei definite prin:

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

în fizică se folosește de obicei o altă definiție:

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

Cele două definiții de mai sus nu sunt exact echivalente una cu cealaltă; fiecare este o versiune „la scară” a celuilalt

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)

Expresii explicite pentru primele unsprezece (n = 0,1,…,10) polinoamele Hermite sunt prezentate mai jos (definiție probabilistică):

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

Primele unsprezece (n = 0,1,…,10) polinoame Hermite din definiția fizică sunt definite în mod similar:

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

Ecuația generală pentru polinoamele Hermite este: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$

Proprietăți

Polinomul conține numai membri cu aceeași paritate ca și numărul însuși : $H_n(x)$ $n$
Polinomul este par pentru par și impar pentru impar : $H_n(x)$ $n$ $n$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\ldots$ .
Următoarele relații sunt adevărate: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ , (în definiție probabilistică) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\ldots$ . (în definiție fizică)
Ecuația are rădăcini reale care sunt simetrice pe perechi în raport cu originea sistemului de coordonate, iar modulul fiecăruia dintre ele nu depășește . Rădăcinile polinomiale alternează cu rădăcinile polinomiale . $H_{n}(x)=0$ $n$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Un polinom poate fi reprezentat ca determinant matriceal : $H_n(x)$ $n\ ori n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Formula de adunare

Următoarea formulă de adunare pentru polinoamele Hermite este valabilă:

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\sum _{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

Este ușor de observat că următoarele formule sunt cazurile sale speciale:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Apoi $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(X)

$n=2$ , , . Apoi $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\sum _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Relații de diferențiere și recurență

Derivata de ordinul al treilea a unui polinom Hermite este , de asemenea, un polinom Hermite (pentru definiția fizică): Aceasta oferă relația pentru prima derivată (pentru definiția fizică) și relația de recurență între trei polinoame consecutive: Pentru definiția fizică, relația de recurență între trei polinoame consecutive este: $k$ $H_n(x)$ $n\geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonalitate

Polinoamele Hermite formează un sistem ortogonal complet pe un interval cu greutate sau în funcție de definiție: $(-\infty,+\infty)$ $e^{-x^{2}/2}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}

, (în definiție probabilistică)

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (în definiția fizică)

unde este simbolul deltei Kronecker . $\delta _{{mn}}$

O consecință importantă a ortogonalității polinoamelor Hermite este posibilitatea extinderii diferitelor funcții în serii în termeni de polinoame Hermite. Pentru orice număr întreg nenegativ , notația $p$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

Din aceasta rezultă o legătură între coeficienții de expansiune a unei funcții din seria Maclaurin și coeficienții de extindere a aceleiași funcții în termenii polinoamelor Hermite, care se numesc relații Niels Nielsen: $f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\sum _{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

De exemplu, extinderea funcției Kummer va arăta astfel:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

unde este o funcție hipergeometrică generalizată de ordinul doi, este funcția gamma . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Descompunerea funcţiilor în care există un exponent .

Pentru orice funcție care este scrisă ca o suprapunere a exponentului , se poate scrie următoarea expansiune în termeni de polinoame Hermite: $f(x)=\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$
$f(x)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{({\frac {\alpha _{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Expansiunile funcțiilor hiperbolice și trigonometrice cunoscute au forma

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+ 1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Ecuații diferențiale

Polinoamele Hermite sunt soluții ale ecuației diferențiale liniare : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Dacă este un număr întreg, atunci soluția generală a ecuației de mai sus se scrie ca $n$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

unde sunt constante arbitrare, iar funcțiile sunt numite funcții Hermite de al doilea fel . Aceste funcții nu sunt reduse la polinoame și pot fi exprimate doar folosind funcțiile transcendentale și . $A,B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Vizualizări

Polinoamele Hermite presupun următoarele reprezentări:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

unde este conturul care cuprinde originea. $\Gamma$

O altă reprezentare arată astfel:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Relația cu alte funcții speciale

Relația cu funcția Kummer: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)$
Legătura cu polinoamele Laguerre : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Aplicație

În mecanica cuantică , polinoamele Hermite intră în expresia funcției de undă a unui oscilator armonic cuantic . În variabilele adimensionale , ecuația Schrödinger , care descrie starea unui oscilator armonic cuantic, are forma:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n}(x)

. Soluțiile acestei ecuații sunt funcțiile proprii ale oscilatorului, care corespund valorilor proprii . Normalizate la unul, sunt scrise ca

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots

. În această expresie, sunt folosite polinoamele „fizice” Hermite .

H_{n}^{*}(x)

Polinoamele Hermite sunt folosite în rezolvarea ecuației unidimensionale a căldurii pe un interval infinit. Această ecuație are o soluție sub forma unei funcții exponențiale . Deoarece o astfel de funcție poate fi reprezentată ca o expansiune în termeni de polinoame Hermite și, pe de altă parte, poate fi extinsă într- o serie Taylor în termeni de : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alfa$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ { n}(x,t)

, atunci funcțiile , care sunt soluția ecuației căldurii și satisfac condiția inițială , sunt exprimate în termenii polinoamelor Hermite după cum urmează:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\dreapta )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy )^{2}}{4t}}}}a^{n}dy

. Pentru a obține ultima egalitate s-a folosit integrala Poisson -Fourier .

În fizica laserului, sau mai degrabă, în teoria rezonatoarelor deschise (optice) , polinoamele Hermite sunt incluse în expresia care descrie distribuția amplitudinii în secțiunea transversală a modului Hermite-Gauss transversal corespunzător (de fapt, produsul unuia dintre Polinoamele Hermite și funcția Gaussiană ), caracteristice rezonatoarelor optice cu formă dreptunghiulară a oglinzilor rezonatoare.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Modul pentru interpolarea polinomilor Hermite de John H. Mathews

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi