Funcția Morse

Funcția Morse este o funcție lină pe varietatea având puncte critice nedegenerate .

Funcțiile Morse apar și sunt utilizate în teoria Morse , unul dintre instrumentele principale ale topologiei diferențiale .

Definiție

Fie o varietate netedă a cărei graniță este uniunea disjunsă a varietăților (posibil goale) și . Funcția Morse a unei triade este o funcție de clasă atât de netedă , (sau ) pentru , încât: $W$ $\partial W$ $F_{0}$ $F_{1}$ $(W;F_{0},F_{1})$ $C^{2}$ $f:W\to [a,b]$ $-\infty <a,b<+\infty$ $f:W\to [a,\infty ]$ $F_{1}=\varnothing$

$F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),$
toate punctele critice ale funcției se află și sunt nedegenerate. $f$ $W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)$

Proprietăți

Dacă varietatea este de dimensiuni finite, atunci pentru mulțimea de funcții Morse atinge un minim (global) pe fiecare componentă conectată. $W$ $k\geqslant 2$
În spațiul tuturor funcțiilor -smooth ( ). $C^k$ $k\geqslant 2$ $f:(W,F_{0},F_{1})\la ([a,b],a,b)$

setul de funcții Morse este un set deschis dens [1] .

Variații și generalizări

Funcțiile Morse se generalizează în mod natural pentru a netezi varietăți complete Hilbert (în ceea ce privește un tensor metric ) . Acest lucru necesită o condiție suplimentară:

(condiție Pale-Smale) pe orice mulțime închisă în care funcția este mărginită și infimul funcției este egal cu zero, există un punct critic al funcției . $K\subset W$ $f$ $|df(x)|$ $f$

Această condiție este îndeplinită automat în cazul cu dimensiuni finite.

În acest caz, setul de funcții Morse nu formează un set deschis, ci este un set din categoria a 2-a Baer

Vezi și

contele Riba

Note

↑ V. Guillemin, A. Pollack , Topologie diferențială - Prentice-Hall, New York, NY, 1974.