Funcția Haar

Funcția Haar este o funcție constantă pe bucăți. Determinat pe interval . Secvența funcțiilor Haar formează un sistem ortogonal. A fost construit pentru prima dată de Alfred Haar [1] . Orice funcție care este Lebesgue integrabilă pe interval poate fi extinsă într-o serie de funcții Haar similare expansiunii în seria Fourier : . $\stanga[0,1\dreapta)$ $\stanga[0,1\dreapta)$ $f(x)\sim c_{0}\chi _{0}^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1} ^{2m}c_{m}^{(k)}\chi _{m}^{(k)}(x)$

Definiție

Primele două funcții Haar sunt definite după cum urmează:

\chi _{0}^{(0)}(x)=1

\chi _{0}^{(1)}(x)={\begin{cases}1,x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right)\\ 0,x={\frac {1}{2}}\\-1,x\in \left({\frac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Alte funcții Haar sunt definite pentru toate elementele naturale : $m\geqslant 1,1\leqslant k\leqslant 2^{m)$

\chi _{m}^{(k)}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2^{m)}},x\in \left({\frac {k-1 }{2^{m))},{\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}}\right)\\-{\sqrt {2^{m} )),x\in \left({\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}},{\frac {k}{2^{m}}}\ dreapta)\\0,x\în \left({\frac {l-1}{2^{m}}},{\frac {l}{2^{m}}}\right)\end{cases }}

Aici: . $l\neq k,1\leqslant l\leqslant 2^{m)$

Proprietăți

Setul de funcții Haar este un sistem ortonormal [2] .
Pentru o funcție care este integrabilă Lebesgue , expansiunea Haar converge către această funcție aproape peste tot.
Expansiunea Haar pentru o funcție converge către acea funcție în fiecare punct de continuitate al acelei funcții și converge uniform pe fiecare interval în care funcția este uniform continuă.

Note

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Disertație (Göttingen, 1909); Matematică. An. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53
↑ Aleksich, 1963 , p. 55.

Literatură

Aleksich G. Probleme de convergență a seriilor ortogonale. - M . : Literatură străină, 1963. - 359 p.