Convergență uniformă

Fie o mulțime arbitrară , un spațiu metric și o succesiune de funcții. Se spune că o secvență converge uniform [1] către o funcție dacă pentru oricare există un număr astfel încât pentru toate numerele și toate punctele inegalitatea $X$ $Y=(Y,d)$ $f_{n}\colon X\la Y,\n=1,2,\dots$ $f_n$ $f\coloan X\la Y$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $n>N_{\varepsilon }$ $x\în X$

\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon

De obicei notat . $f_{n}\rightrightarrows f$

Această condiție este echivalentă cu

\lim _{{n\to \infty }}\sup _{{x\in X}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

Proprietăți

Dacă este un spațiu normat liniar și secvențele de mapări și converg uniform pe mulțime , atunci șirurile și pentru orice converg uniform pe . $Y$ $f_{n}\colon X\la Y$ $g_{n}\colon X\la Y$ $n=1,2,\puncte$ $X$ $\{f_{n}+g_{n}\}$ $\{\alpha f_{n}\}$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $X$

Pentru funcțiile cu valori reale (sau, mai general, dacă este un inel normat liniar ), succesiunea de mapări , converge uniform pe mulțime și maparea mărginită, atunci șirul converge uniform pe . $Y$ $f_{n}\colon X\la \mathbb{R}$ $X$ $g\colon X\la \mathbb{R}$ $\{gf_{n}\}$ $X$

Dacă este un spațiu topologic , este un spațiu metric și o secvență de mapări continuă într-un punct converge uniform pe mulțime către o mapare , atunci această mapare este, de asemenea, continuă într-un punct . $X$ $Y$ $x_{0}\în X$ $f_{n}\colon X\la Y$ $X$ $f\coloan X\la Y$ $x_{0}$

Dacă o secvență de funcții integrabile Riemann ( Lebesgue ) converge uniform într-un interval către o funcție , atunci această funcție este și Riemann (respectiv, Lebesgue) integrabilă, iar egalitatea este valabilă pentru orice și convergența unei secvențe de funcții dintr-un interval la un funcția este uniformă. $f_{n}\colon [a,b]\la \mathbb{R}$ $[a,b]$ $f\colon [a,b]\la \mathbb{R}$ $x\în[a,b]$
     $\lim _{{n\to \infty }}\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
$[a,b]$
     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

Dacă o secvență de funcții diferențiabile continuu pe un segment , converge într-un anumit punct , iar o secvență a derivatelor lor converge uniform pe , atunci șirul converge uniform și pe , iar limita sa este o funcție diferențiabilă continuu pe acest segment. $[a,b]$ $f_{n}\colon [a,b]\la \mathbb{R}$ $x_{0}$ $[a,b]$ $\{f_{n}\}$ $[a,b]$

Note

↑ Kudryavtsev L. D. Uniform convergence // Mathematical Encyclopedia : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 787-789. - 1216 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.

Literatură

Aleksandrov P. S. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală, M., 1977.
Kolmogorov A. N., Fomin S. B. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. Ed. a 5-a, M., 1981.
Kelly J. L. Topologie generală. Ed. a II-a, M., 1951.
Medvedev F. A. Despre istoria conceptului de convergență uniformă a seriei. // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1974. - Nr. 19 . - S. 75-93 .