Număr caracteristic (ecuații integrale)

Numărul caracteristic al nucleului unei ecuații integrale este valoarea complexă , la care ecuația integrală omogenă Fredholm de al doilea fel $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

are o soluție non-trivială (adică nu identic zero) , numită funcție proprie . Aici este regiunea în , este nucleul ecuației integrale . Numerele caracteristice sunt reciprocele valorilor proprii ale operatorului integral cu nucleu [1] . Valorile care nu sunt numere caracteristice se numesc regulate . Dacă este o valoare regulată, ecuația integrală Fredholm de al doilea fel $\varphi(x)$ $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

are o soluție unică pentru orice termen liber ; numerele caracteristice sunt „puncte singulare” la care nu există soluție sau există infinit de soluții în funcție de termenul liber [2] . $f(x)$ $f(x)$

Proprietăți

Numerele caracteristice ale nucleului continuu au următoarele proprietăți:

Setul de numere caracteristice este numărabil și nu are puncte limită finite .
Multiplicitatea unui număr caracteristic este numărul de funcții proprii liniar independente corespunzătoare acestuia. Multiplicitatea fiecărui număr caracteristic este finită.
Din primele două proprietăți rezultă că numerele caracteristice pot fi numerotate în ordinea crescătoare a modulului lor :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\dots,

în timp ce se repetă numărul de câte ori multiplicitatea lui. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \dots$ sunt toate numere caracteristice nucleului de unire . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Dacă și , , adică și sunt funcțiile proprii ale nucleelor și respectiv, atunci funcțiile proprii sunt ortogonale în spațiul . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
Nucleul repetat are numere caracteristice și aceleași funcții proprii ca și nucleul . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
În schimb, dacă și este un număr caracteristic și funcția proprie corespunzătoare a nucleului repetat , atunci cel puțin una dintre rădăcinile ecuației este numărul caracteristic al nucleului [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \dots, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
Setul de numere caracteristice ale nucleului continuu hermitian nu este gol și este situat pe axa reală , sistemul de funcții proprii putând fi ales ortonormal [4] .
Numerele caracteristice coincid cu polii solventului [2] .
Nucleul degenerat are un număr finit de numere caracteristice [5] .
Nuezul continuu al lui Volterra nu are numere caracteristice [6] .

Vezi și

Note

↑ Vladimirov V.S. Ecuațiile fizicii matematice, 1981 , p. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Ecuații integrale, 1975 , p. 35.
↑ Vladimirov V.S. Ecuații de fizică matematică, 1981 , capitolul IV, §18, p. 4.
↑ Vladimirov V.S. Ecuațiile fizicii matematice, 1981 , p. 306.
↑ Vladimirov V.S. Ecuațiile fizicii matematice, 1981 , p. 292.
↑ Vladimirov V.S. Ecuațiile fizicii matematice, 1981 , p. 280.

Literatură

Vladimirov VS Ecuații ale fizicii matematice. - Ed. al 4-lea. - M . : Știință, cap. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1981. - 512 p.
Krasnov M. L. Ecuații integrale. (Introducere în teorie). - M . : Știință, cap. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Manual de ecuații integrale: Metode de soluție. - M . : Presa factorială, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .