Ecuația integrală a lui Fredholm

Ecuația integrală Fredholm [1] este o ecuație integrală al cărei nucleu este nucleul Fredholm . Numit după matematicianul suedez Ivar Fredholm . De-a lungul timpului, studiul ecuației Fredholm a crescut într-o secțiune independentă de analiză funcțională - teoria Fredholm , care studiază nucleele Fredholm și operatorii Fredholm .

Teoria generală

Teoria generală bazată pe ecuațiile Fredholm este cunoscută sub numele de teoria Fredholm . Teoria are în vedere o transformare integrală a unei forme speciale

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

unde funcția este numită nucleul ecuației și operatorul definit ca $K$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , se numește operatorul Fredholm (sau integrală).

Unul dintre rezultatele fundamentale este faptul că nucleul lui K este un operator compact , altfel cunoscut sub numele de operator Fredholm . Compactitatea poate fi demonstrată utilizând continuitatea uniformă . Ca operator, teoria spectrală poate fi aplicată nucleului , studiind spectrul valorilor proprii .

Ecuație de primul fel

Ecuația Fredholm neomogenă de primul fel are forma:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

și problema este că, pentru o funcție continuă dată a nucleului și funcției, găsiți funcția . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(e)$

Dacă nucleul este o funcție a diferenței argumentelor sale, adică a limitelor de integrare , atunci partea dreaptă a ecuației poate fi rescrisă ca o convoluție de funcții și , și, prin urmare, soluția este dată de formula $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $f$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\peste \mathcal{F}_t[K(t) )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

unde și sunt transformatele Fourier directe și , respectiv, inverse. Condițiile necesare și suficiente pentru existența unei soluții sunt definite de teorema lui Picard . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Ecuație de al doilea fel

Ecuația neomogenă Fredholm de al doilea fel arată astfel:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

Problema este de a găsi funcția, având un nucleu și o funcție . În acest caz, existența unei soluții și multiplicitatea acesteia depind de un număr numit număr caracteristic (inversul acestuia se numește propriu -zis ). Abordarea soluției standard folosește noțiunea de solvent ; soluția scrisă ca o serie este cunoscută ca seria Liouville-Neumann . $K(t, s)$ $f(t)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Note

↑ BRE . Preluat la 18 iunie 2020. Arhivat din original la 20 iunie 2020. (nedefinit)

Link -uri

Ecuații integrale: soluții exacte - din EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Ecuații integrale: metode de rezolvare - din EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Lectură recomandată

A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. Manual de ecuații integrale. Moscova, Fizmatlit, 2003.