Quadripol

Un patru poli este un circuit electric, un fel de multipolar având patru puncte de conectare [1] . De regulă, două puncte sunt intrarea, celelalte două sunt ieșirea.

Informații generale

Când se analizează circuitele electrice, este foarte adesea convenabil să izolați un fragment de circuit care are două perechi de cleme. Deoarece circuitele electrice (electronice) sunt foarte des asociate cu transferul de energie sau cu procesarea și transformarea informațiilor, o pereche de cleme este de obicei numită "intrare", iar a doua - "ieșire". Semnalul original este alimentat la bornele de intrare, semnalul convertit este preluat de la bornele de ieșire.

Astfel de rețele cu patru terminale sunt, de exemplu, transformatoare, amplificatoare, filtre, stabilizatoare de tensiune, linii telefonice, linii electrice etc.

Cu toate acestea, teoria matematică a cvadripolilor nu implică niciun flux de energie/informații predeterminate în circuite, prin urmare denumirile „input” și „output” sunt un tribut adus tradiției și vor fi folosite în continuare cu această rezervă.

Stările bornelor de intrare și de ieșire sunt determinate de patru parametri: tensiune și curent în circuitele de intrare ( U 1 , I 1 ) și de ieșire ( U 2 , I 2 ). În acest sistem de parametri, o rețea liniară cu patru terminale este descrisă de un sistem de două ecuații liniare, doi dintre cei patru parametri de stare fiind inițiali, iar ceilalți doi fiind determinați. Pentru cvadripolii neliniari, dependența poate fi mai complexă. De exemplu, parametrii de ieșire pot fi exprimați în termeni de parametri de intrare de către sistem

{\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{ 1}\\\end{cases));~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12 }\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}

Pe viitor se va folosi sistemul de ecuații sub formă de matrice, ca fiind cel mai convenabil pentru percepție.

Sisteme de parametri

O rețea liniară cu patru terminale care nu conține surse independente ( tensiune și/sau curent ) este descrisă de patru parametri - două tensiuni și doi curenți. Oricare două dintre cele patru cantități pot fi determinate în funcție de celelalte două. Deoarece numărul de combinații este 2 din 4 - 6, se utilizează unul dintre cele șase sisteme de înregistrare a parametrilor formali ai cvadripolului [2] :

A - forma U1 = AU2 + BI2 ; I 1 =CU 2 +DI 2 , unde A, B, C, D sunt parametri A, parametri generalizati [3] sau complexi [4] .
forma Y I1 = Y11U1 + Y12U2 ; _ _ _ I 2 \u003d Y 21 U 1 + Y 22 U 2 , unde Y 11 , Y 12 , Y 21 , Y 22 sunt parametrii Y sau parametrii de conductivitate [5] .
Forma Z U 1 \u003d Z 11 I 1 + Z 12 I 2 ; U 2 \u003d Z 21 I 1 + Z 22 I 2 , unde Z11, Z 12 , Z 21 , Z 22 - parametrii Z sau parametrii rezistenței [5] .
H - forma U1 = h111 + h12U2 ; _ _ I 2 \u003d h 21 I 1 + h 22 U 2 , unde h 11 , h 12 , h 21 , h 22 sunt parametri h care sunt utilizați atunci când se consideră circuite cu tranzistoare [3] .
Forma G I1 = G11U1 + G12I2 ; _ _ _ U 2 \u003d G 21 U 1 + G 22 I 2 , unde G este parametrul care este utilizat atunci când se iau în considerare circuitele cu tuburi.
B-forma U 2 \u003d B 11 U 1 + B 12 I 1 ; I 2 \u003d B 21 U 1 + B 22 I 1

Sistemul specific este ales din motive de comoditate. Alegerea depinde de ce parametru (tensiune sau curent) este intrarea și care este semnalul de ieșire pentru o anumită rețea cu patru terminale.

În aceste sisteme de parametri formali, sursele interne arbitrare (de exemplu, curentul continuu) nu pot fi luate în considerare, sunt permise numai generatoarele de curent controlate și generatoarele de tensiune controlate , care sunt controlate de semnalele de intrare ale rețelei cu patru terminale. Prin urmare, ca circuite cu patru poli, de regulă, sunt considerate circuite de curent alternativ echivalent .

Sistemele de ecuații și circuitele echivalente ale rețelelor cu patru terminale care utilizează fiecare tip de parametri sunt prezentate în tabel.

Sisteme de ecuații, circuite echivalente, măsurarea parametrilor

Tip de	Sistem de ecuații	Măsurarea parametrilor
$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{ \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{ \frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{ \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$	$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$

Conversie parametri

Principiul transformării

De exemplu, să convertim parametrii h ai unui cvadripol în parametrii y. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați următoarea transformare a sistemului de ecuații:

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{ 21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.

Din prima ecuație a sistemului original, exprimăm I 1 :

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Înlocuiți prima ecuație în a doua:

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2 }\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Să transformăm a doua ecuație:

I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{ 11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12} h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}U_{2},

Unde $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Obținem un sistem de ecuații

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\ sfârşit{cazuri}}.

Comparând-l cu sistemul țintă, obținem expresii pentru coeficienți:

y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{ 21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};

Determinantul noului sistem se găsește printr-o simplă substituție:

\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{ 22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ ${\displaystyle h_{12}=-y_{12}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{21}=y_{21}/y_{11))$ $h_{22}=\Delta _{y}/y_{11)$ $\Delta _{h}=y_{22}/y_{11)$	$h_{11}=\Delta _{z}/z_{22)$ ${\displaystyle h_{12}=z_{12}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{21}=-z_{21}/z_{22))$ $h_{22}=1/z_{22}$ $\Delta _{h}=z_{11}/z_{22)$	$h_{11}=g_{22}/\Delta _{g)$ $h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g)$ $h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g)$ $h_{22}=g_{11}/\Delta _{g)$ $\Delta _{h}=1/\Delta _{g)$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ ${\displaystyle y_{12}=-h_{12}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{21}=h_{21}/h_{11))$ $y_{22}=\Delta _{h}/h_{11)$ $\Delta _{y}=h_{22}/h_{11)$		$y_{11}=z_{22}/\Delta _{z)$ $y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z)$ $y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z)$ $y_{22}=z_{11}/\Delta _{z)$ $\Delta _{y}=1/\Delta _{z)$	$y_{11}=\Delta _{g}/g_{22)$ ${\displaystyle y_{12}=g_{12}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{21}=-g_{21}/g_{22))$ $y_{22}=1/g_{22}$ $\Delta _{y}=g_{11}/g_{22)$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ ${\displaystyle z_{12}=h_{12}/h_{22))$ ${\displaystyle z_{21}=-h_{21}/h_{22))$ $z_{22}=1/h_{22}$ $\Delta _{z}=h_{11}/h_{22)$	$z_{11}=y_{22}/\Delta _{y)$ $z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y)$ $z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y)$ $z_{22}=y_{11}/\Delta _{y)$ $\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$ ${\displaystyle z_{12}=-g_{12}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{21}=g_{21}/g_{11))$ $z_{22}=\Delta _{g}/g_{11)$ $\Delta _{z}=g_{22}/g_{11)$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ $\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ ${\displaystyle g_{21}=-y_{21}/y_{22))$ $g_{22}=1/y_{22}$ $\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ ${\displaystyle g_{12}=-z_{12}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{21}=z_{21}/z_{11))$ $g_{22}=\Delta _{z}/z_{11)$ $\Delta _{g}=z_{22}/z_{11)$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta _{A}/A$ $g_{21}=\Delta _{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{{22}}/h_{{21}}$ $D=-1/h_{{21}}$	$A=-y_{{22}}/a_{{21}}$ $B=-1/a_{{21}}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{{11}}/a_{{21}}$	$A=z_{{11}}/z_{{21}}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{{21}}$ $D=z_{{22}}/z_{{21}}$	$A=1/g_{{21}}$ $B=g_{{22}}/g_{{21}}$ $C=g_{{11}}/g_{{21}}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Conversii schema

R in , R out - rezistențe de intrare și de ieșire; K I , K U sunt câștiguri de curent și de tensiune .

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\ qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Sistem	$H$	$Y$	$Z$	$G$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R))$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r))$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R))$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R))$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r))$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R))$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R))$ $R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r))$ $K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R))$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R))$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r))$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R))$

Principiul calculului parametrilor circuitului

De exemplu, să găsim rezistența de intrare/ieșire și câștigurile de curent și tensiune pentru o rețea cu patru terminale descrisă de parametrii h.

Impedanta de intrare

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};

O rețea cu patru terminale descărcată este descrisă de sistem

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cazuri}}.

La conectarea sarcinii

U_{2}=-I_{2}R.

Transformăm sistemul de ecuații

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_ {2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1 +h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};

(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R }}.

Soiuri de cvadripoli

O rețea simetrică cu patru terminale este o rețea cu patru terminale în care circuitul este același în ceea ce privește bornele sale de intrare și ieșire. Apoi, pentru un simetric cu patru poli Z11 = Z22. De asemenea: dacă, atunci când sursa și receptorul de energie sunt interschimbate, curenții lor nu se schimbă, atunci o astfel de rețea cu patru terminale se numește simetrică.

Un cvadripol pasiv este un cvadripol care nu conține surse de energie sau conține surse de energie compensate.

Un cvadripol activ este un cvadripol care conține surse de energie necompensate.

O rețea reversibilă cu patru terminale este o rețea cu patru terminale care îndeplinește teorema de reversibilitate, adică rezistența de transfer a circuitelor de intrare și de ieșire nu depinde de ce pereche de terminale este intrarea și care este ieșirea: U1/I2 =U2/I1

Cazuri speciale de cvadripoli

Transformatorul ideal

Un transformator ideal este o rețea pasivă cu patru terminale care descrie în mod oficial modelul transformatorului fără a lua în considerare curentul fără sarcină și miezul feromagnetic . Matematic, aceasta este determinată de un sistem de ecuații care arată ca în formă H (sau matricea corespunzătoare):

{\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix}U_ {1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\ \U_{2}\end{pmatrix}}

Gyrator

Un girator este un circuit pasiv cu patru terminale fără pierderi care convertește curentul de intrare într-o tensiune de ieșire, iar tensiunea de intrare într-un curent de ieșire invers (inversat) (invertor cu rezistență pozitivă [6] ). Din punct de vedere matematic, acest lucru este descris de un sistem care arată ca o formă Y (sau matricea corespunzătoare:

{\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix} I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1 }\\U_{2}\end{pmatrix}}

Acea. Giratorul nu absoarbe și nu acumulează energie, transformând rezistența de sarcină complexă într-o rezistență cu semnul opus și un modul egal cu raportul invers:

Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}

Nullor

Nullor este o rețea cu patru porturi, un element anormal, în care curentul și tensiunea de intrare sunt egale cu zero, iar curentul și tensiunea de ieșire iau orice valori care nu sunt legate între ele [7] . Elementele anormale sunt utilizate într-o serie de cazuri în analiza și sinteza circuitelor electrice.

Vezi și

bipolar

Note

↑ Bakalov, 1989 , p. 171.
↑ Bessonov, 1978 , p. 109.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , p. 175.
↑ Bessonov, 1996 , p. 137.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , p. 174.
↑ Bessonov, 1996 , p. 149.
↑ Kisel, 1986 , p. 68.

Literatură

Bessonov L.A. Bazele teoretice ale ingineriei electrice. - M . : Şcoala superioară, 1978. - 528 p.
Bessonov L.A. Bazele teoretice ale ingineriei electrice. - M . : Şcoala superioară, 1996. - 638 p.
Kisel V.A. Corectoare analogice și digitale. - M . : Radio şi comunicare, 1986. - 184 p.
Bakalov V.P. Fundamentele teoriei circuitelor electrice și electronicii. - M . : Radio şi comunicare, 1989. - 528 p. - ISBN 5-256-00265-1 .