Luke numere

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 octombrie 2020; verificările necesită 8 modificări .

Numerele Lucas sunt date de formula recurentă

{\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2))

cu valorile inițiale și și sunt conjugate cu numerele Fibonacci . Aceste numere sunt numite după profesorul francez Édouard Lucas . Secvența de numere Luca începe astfel: $L_{0}=2$ $L_{1}=1$

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (secvența A000032 în OEIS )

Formula generală a termenului

Secvența poate fi exprimată în funcție de n : $L_{n}$

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+ {\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

unde este raportul de aur . Pentru n > 1, numărul |(− φ ) − n | mai puțin de 0,5 și cu creșterea n se apropie de zero din ce în ce mai mult, ceea ce înseamnă că pentru n > 1 numerele Lucas sunt exprimate ca unde este funcția de rotunjire la cel mai apropiat număr întreg . $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil ,$ $\lfloor \cdot \rceil$

În special, numerele Fibonacci sunt exprimate într-un mod similar folosind formula lui Binet : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n)}{\sqrt {5)}}={\frac {\varphi ^{n}- (-\varphi )^{-n)){\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt { 5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].

Verificarea dacă un număr este prim folosind numerele Lucas

Numerele Lucas pot fi folosite pentru a testa numerele pentru primalitate . Pentru a verifica dacă un număr p este prim, luați ( p + 1) al-lea număr Lucas, scădeți unul din el și, dacă numărul rezultat nu este divizibil egal cu p , atunci se garantează că p nu este prim . În caz contrar, numărul poate fi atât prim, cât și compus și necesită o verificare mai atentă.

De exemplu, să verificăm dacă numărul 14 este prim. Ziua de 15 a lui Luca este 843.

${\cfrac {843-1}{14}}=60,142857\ldots$

Prin urmare, numărul 14 în mod clar nu este prim.

Legătura cu numerele Fibonacci

Numerele Lucas sunt legate de numerele Fibonacci prin următoarele formule

${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1))$
${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1))$
$L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)$ , iar pe măsură ce avem tendința de a +∞, raportul tinde să $n$ ${\frac {L_{n}}{F_{n}}}$ ${\sqrt {5}).$
$F_{2n}=L_{n}F_{n}$
$F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n)$
$F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

Generalizări

Numerele Lucas pot fi determinate și pentru indici negativi folosind formula:

L_{-n}=(-1)^{n}L_{n)

Eduard Lucas a introdus conceptul de „ siruri Fibonacci generalizate ”, un caz special al căruia sunt numerele Fibonacci și numerele Lucas.

{\begin{matrix}F_{n}=U_{n}(1,-1)\\L_{n}=V_{n}(1,-1)\end{matrix))