Proiecție în modelul Thomas-Fermi

Ecranarea în modelul Thomas-Fermi este o abordare teoretică pentru calcularea efectului de ecranare a câmpului electric de către purtătorii de sarcină într-un solid. [1] Acesta este un caz special al abordării mai generale din teoria Lindhard ; în special, screening-ul Thomas-Fermi apare ca un caz limitativ al formulei Lindhard atunci când vectorul de undă (reciproca mărimii caracteristice) este mult mai mic decât vectorul de undă Fermi, adică în limita lungimii de undă.

Vectorul de undă Thomas-Fermi (în unități CGS ) este scris ca

k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu ))

unde μ este potențialul chimic (nivelul Fermi), n este concentrația de electroni și e este sarcina elementară .

În multe cazuri, inclusiv semiconductori ușor dopați , n ∝ e μ / k B T , unde k B este constanta Boltzmann și T este temperatura. În acest caz

k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/(k_{B}T)

adică 1/k 0 este determinat de formula uzuală pentru lungimea Debye . În cazul opus, în limita de temperatură joasă T=0 , electronii se comportă ca particule cuantice ( fermioni ). Această aproximare este aplicabilă metalelor la temperatura camerei, iar vectorul de undă Thomas-Fermi k TF dat în unități atomice este

k_{TF}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}

Apoi, când se utilizează unități CGS (masa electronilor și constanta lui Planck pentru vectorii de undă pentru screening, acestea sunt legate prin relația . $pe mine$ $\hbar$ $k_{0}^{2}=k_{TF}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})$

Această expresie este aplicabilă numai pentru o problemă tridimensională în cazuri unidimensionale și bidimensionale, este necesar să se folosească teoria Lindhard.

Concluzie

Relația dintre densitatea electronilor și potențialul chimic intern

Potențialul chimic intern (strâns legat de nivelul Fermi, vezi mai jos) al unui sistem de electroni descrie câtă energie este nevoie pentru a adăuga un electron în plus la sistem, neglijând energia potențială electrică . Evident, pe măsură ce numărul de electroni din sistem crește (ceteris paribus), crește potențialul chimic intern. Acest lucru se datorează faptului că electronii îndeplinesc principiul Pauli : niveluri mai mici de energie sunt umplute, astfel încât noii electroni trebuie să ocupe stări de energie din ce în ce mai mari. (Cu toate acestea, acest lucru este valabil și în general, indiferent de principiul Pauli.)

Această relație este descrisă de funcția , unde n , densitatea electronilor este o funcție de μ, potențialul chimic intern. Forma funcțională exactă depinde de sistem. De exemplu, pentru un gaz tridimensional de electroni care nu interacționează la temperatura zero absolută, relația este adevărată . Dovada: având în vedere degenerarea spinului, $n(\mu )$ $n(\mu )\propto \mu ^{3/2)$

n=2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{F}^{3}\quad ,\quad \ mu ={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}}\quad ,\quad n\propto \mu ^{3/2}.

(în acest context, adică la zero absolut, potențialul chimic intern este denumit mai frecvent energia Fermi ).

Ca un alt exemplu, pentru un semiconductor de tip n la densități electronice scăzute până la moderate, unde k B este constanta Boltzmann și T este temperatura. $n(\mu)\propto e^{\mu /k_{B}T}$

Aproximare locală

Principala ipoteză din modelul Thomas-Fermi este că potențialul chimic intern în fiecare punct r depinde numai de concentrația de electroni în acel punct r . Acest lucru nu este întotdeauna valabil din cauza principiului de incertitudine al lui Heisenberg . Un electron nu poate exista la un moment dat; fiecare răspândit într-un pachet de undă care are o dimensiune de ≈ 1/k F , unde k F este numărul de undă Fermi , adică numărul de undă tipic pentru stările de pe suprafața Fermi . Prin urmare, este imposibil să se determine potențialul chimic la un moment dat, indiferent de densitatea electronilor din punctele apropiate.

Cu toate acestea, modelul Thomas-Fermi este probabil să fie o aproximare destul de precisă dacă potențialul nu se modifică mult pe lungimi comparabile cu sau mai mici de 1/k F . (Această lungime corespunde de obicei mai multor distanțe atomice în metale.)

Electroni în echilibru, ecuație neliniară

În cele din urmă, modelul Thomas-Fermi presupune că electronii sunt în echilibru, ceea ce înseamnă că potențialul chimic total este același în toate punctele. (În terminologia electrochimică, „ potențialul electrochimic al electronilor este același în toate punctele.” În fizica semiconductorilor, „nivelul Fermi este plat”.)

Pentru a face acest lucru, este necesar ca fluctuațiile potențialului chimic intern să corespundă modificărilor de semn egale și opuse ale energiei potențiale electrice. Această afirmație generează „ecuația de bază a modelului neliniar Thomas-Fermi”: [1]

\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )=-e[n(\mu _{0}+e\phi (\mathbf {r}))-n(\mu _ {0})]

unde n (μ) este funcția discutată mai sus (densitatea electronilor în funcție de potențialul chimic intern), e este sarcina elementară , r este poziția și este sarcina indusă la r . Potențialul electric este definit în așa fel încât în punctele în care materialul nu are sarcină (numărul de electroni este exact egal cu numărul de ioni - condiția neutralității electrice) și, în mod similar, μ 0 este definit ca potențial chimic intern în punctele în care materialul nu are nicio sarcină. $\rho ^{\text{indus}}(\mathbf {r} )$ $\phi$ $\phi (\mathbf {r} )=0$

Linearizare, funcție dielectrică

Dacă potențialul chimic nu se modifică prea mult, atunci ecuația de mai sus se liniază:

\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )\aprox -e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu}}\phi (\mathbf {r } )

unde este estimat la μ 0 și este perceput ca o valoare constantă. $\partial n/\partial \mu$

Acum putem converti această expresie într-o funcție dielectrică în funcție de vectorul de undă: [1]

\epsilon (\mathbf {q} )=1+{\frac {k_{0}^{2}}{q^{2)))

(CGS-Gauss)

Unde

k_{0}={\sqrt {4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }))}

La distanțe mari ( q → 0), constanta dielectrică se apropie de infinit, reflectând faptul că sarcinile se apropie din ce în ce mai mult de ecranizarea perfectă, ca și cum ar fi fost observate de la distanță.

Exemplu: taxă punctuală

Dacă o sarcină punctiformă Q este situată la r = 0 într-un solid, atunci ce câmp electric va crea dacă se ia în considerare ecranarea?

Cineva caută o soluție auto-consistentă pentru un sistem de două ecuații:

Formula de ecranare Thomas-Fermi dă densitatea de sarcină în fiecare punct r în funcție de potențialul din acel punct. $\phi (\mathbf {r} )$
Ecuația lui Poisson (derivată din legea lui Gauss ) leagă derivata a doua a potențialului de densitatea sarcinii.

Pentru formula neliniară Thomas-Fermi, rezolvarea acestor ecuații în același timp poate fi dificilă și, de regulă, nu există o soluție analitică. Cu toate acestea, formula liniarizată are o soluție simplă:

\phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}

(CGS-Gauss)

Cu k 0 =0 (fără ecranare), această expresie devine legea lui Coulomb familiară .

Rețineți că există un efect de permitivitate în plus față de ecranarea discutată mai sus, de exemplu din cauza polarizării electronilor staționari din nucleu. În acest caz, Q ar trebui înlocuit cu Q / ε , unde ε este permisivitatea relativă datorată acestor contribuții.

Rezultate pentru temperatură arbitrară

$k_{0}$ Funcția temperaturii și a energiei Fermi Aceasta impune o condiție asupra potențialului chimic intern , pentru a găsi care trebuie să utilizați integrala inversă a distribuției Fermi-Dirac: $E_F$ $\mu$

\mu /k_{B}T=\Gamma (3/2)F_{1/2}^{-1}\left[{2\over 3}\left({E_{F} \over T }\dreapta)^{3/2}\dreapta]

$k_{0}$ poate fi exprimat în termeni de temperatură efectivă : , sau . Rezultat general pentru $T_{eff}$ $k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{B}T_{eff}$ $k_{B}T_{eff}=n\partial \mu /\partial n$ $T_{eff}$

{T_{eff} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{F}/k_{B}T)^{3/2} \over F_{- 1/2}(\mu /k_{B}T)}

În limita clasică găsim , deși în limita degenerării găsim . O aproximare simplă care recuperează ambele cazuri limită pentru orice putere de . Valoarea care oferă un acord bun cu rezultatele exacte pentru toate este , această valoare are o eroare relativă maximă de < 2,3%. $k_{B}T\gg E_{F}$ $T_{eff}=T$ $k_{B}T\ll E_{F}$ $k_{B}T_{eff}=(2/3)E_{F)$ $k_{B}T_{eff}=\left[(k_{B}T)^{p}+(2E_{F}/3)^{p}\right]^{1/p)$ $p$ $k_{B}T/E_{F}$ $p=1,8$

Referințe

↑ 1 2 3 N. W. Ashcroft și N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)