Heteroscedasticitate condiționată autoregresivă

Heteroscedasticitatea condiționată autoregresivă ( ARCH - AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) este un model utilizat în econometrie pentru analiza seriilor de timp (în primul rând financiare), în care varianța condiționată (prin valorile trecute ale seriei) a seriei depinde de valorile trecute. ale seriei, valorile trecute ale acestor varianțe și alți factori. Aceste modele au scopul de a „explica” gruparea volatilității pe piețele financiare, când perioadele de volatilitate ridicată durează o perioadă de timp, urmate de perioade de volatilitate scăzută, iar volatilitatea medie (pe termen lung, necondiționată) poate fi considerată relativ stabilă.

Modelele ARCH au fost propuse pentru prima dată de Robert Engle în 1982. Deja în 1986, Bollerslev a propus o generalizare a acestor modele (GARCH). Pe viitor, diverși autori au propus și alte versiuni ale modelelor de acest tip, ținând cont de anumite caracteristici.

Modele de bază

ARCH

Fie seria de timp să fie următorul proces $tu_{t}$

$u_{t}=\varepsilon _{t}{\sqrt {\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{ 2}}}$

unde este zgomotul alb . $\varepsilon _{t}$

Atunci atât așteptarea condiționată, cât și cea necondiționată a acestui proces vor fi egale cu zero. Varianta condiționată a acestui proces va fi egală cu

$\sigma _{t}^{2}=V(u_{t}|u_{t-1},...,u_{tq})=\alpha _{0}+\sum _{i =1}^{q}\alpha _{i}u_{ti}^{2}$

Un astfel de model de varianță condiționată se numește modelul ARCH(q). Pentru a evita valorile negative ale varianței, se presupune că toți coeficienții modelului sunt nenegativi, iar constanta este strict pozitivă. Dacă acest proces este staționar, atunci varianța necondiționată este constantă și egală, evident,

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}}}$

O condiție necesară pentru staționaritate este ca suma coeficienților modelului (fără o constantă) să fie strict mai mică decât unu. Dacă suma coeficienților este egală cu unu, avem un ARCH integrat (non-staționar).

Procesele ARCH sunt caracterizate prin curtoză pozitivă („cozi grase”). De exemplu, pentru un proces ARCH(1), deplasarea de la curtosis a distribuției normale este , dacă $6\alpha _{1}^{2}/(1-3\alpha _{1}^{2})$ $\alpha _{1}<1/{\sqrt {3}}$

Estimarea parametrilor modelului ARCH(q) se poate face folosind metoda uzuală a celor mai mici pătrate .

GARCH

Modelul ARCH presupune că varianța condiționată depinde numai de pătratele valorilor trecute ale seriei de timp. Acest model poate fi generalizat presupunând că varianța condiționată depinde și de valorile trecute ale varianței condiționale în sine. Acesta este așa-numitul ARCH generalizat (Generalized ARCH - GARCH). În acest caz, modelul GARCH(p, q) (unde p este ordinea membrilor GARCH și q este ordinea membrilor ARCH ) este descris după cum urmează: $\sigma ^{2}$ $u^{2}$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{2}+\ suma _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Condiție necesară pentru staționaritate . Varianta necondiționată a unui proces GARCH(p, q) staționar va fi constantă și egală cu $\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i}}+\sum _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}<1$

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{{\varepsilon }}^{2}}{1-\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i} }-\sum _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}}}$

Dacă suma coeficienților este egală cu unu, atunci avem un GARCH - IGARCH integrat , a cărui varianță necondiționată este infinită .

GARCH-M

GARCH-in-Mean (GARCH-M) a fost propus de Angle și colab. în 1987. În acest caz, nu vorbim despre un model special pentru variația condiționată. Vorbim despre utilizarea varianței condiționate ca unul dintre factorii modelului de regresie pentru prima de risc. Dacă notăm randamente în exces , atunci modelul GARCH-M înseamnă că [1] $YT}$

$y_{t}=a+f(\sigma _{t}^{2})-E[f(\sigma _{t+1}^{2})]+u_{t)$

unde eroarea aleatorie a modelului este un proces GARCH de varianță condiționată și f este o funcție. $\sigma _{t}^{2}$

Engle a folosit funcția , cu toate acestea, orice opțiune este teoretic posibilă, în special, simplu sau . Toate cele trei opțiuni (dispersie, sco și logaritm de varianță) sunt furnizate în programul econometric Eviews (de exemplu, în versiunea 10). $f(\sigma _{t}^{2})=b{\sqrt {\sigma _{t}^{2))}=b\sigma _{t}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\sigma _{t}^{2}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\ln {\sigma _{t}^{2))$

Modele asimetrice GARCH

Aceste modificări ale modelelor de bază sunt menite să țină cont de asimetria observată uneori pe piețele financiare: veștile proaste (șocuri negative) au de obicei un impact mai mare asupra volatilității decât veștile bune (șocuri pozitive), adică volatilitatea este mai mare într-o scădere. piata decat intr-una in crestere. Acest efect se numește uneori efect de levier (leverage), care este asociat cu una dintre explicațiile acestui fenomen că prețurile acțiunilor scad, crescând pârghia financiară a companiilor și, prin urmare, nivelul de risc (care corespunde unei volatilități mai mari). În cadrul modelelor clasice GARCH, acest efect nu poate fi explicat, deoarece varianța condiționată depinde de pătratele valorilor trecute ale seriei și nu depinde de semne.

EGARCH

Modelul EGARCH a fost propus de Nelson în 1991. În acest model, pe lângă luarea în considerare a asimetriei, se rezolvă și problema definiției pozitive a modelului, deoarece în loc de variațiile condiționate, logaritmii lor sunt implicați în model:

$\ln \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}g(z_{ti})+\ suma _{j=1}^{p}\beta _{j}\ln \sigma _{tj}^{2}~,~~~g(z_{t})=\delta _{1}z_{ t}+\delta _{2}(|z_{t}|-{\sqrt {2/\pi }})~,~~~z_{t}\sim iid(0,1)$

AGARCH

Modelul asimetric GARCH (AGARCH) a fost propus de Angle în 1990.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(u_{{ti}}-\gamma )^ {2}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Modelul neliniar AGARCH(1,1) (NAGARCH) a fost propus de Engle și Ng în 1993.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}(u_{{t-1}}/\sigma _{{t-1}}-\gamma )^{ 2}+\beta \sigma _{{t-1}}^{2}$

TGARCH și GJR-GARCH

Modelele de prag GARCH (Threshold GARCH, TGARCH) au fost propuse de Zakoyan în 1991 și independent de Glosten, Jagannathan și Runkle în 1993 (la ultimul model se face referire prin numele autorilor GJR-GARCH). Singura diferență dintre aceste două modele este că modelul Zakoyan utilizează abateri standard condiționate, în timp ce modelul GJR utilizează varianța condiționată. Aceste modele pot fi reprezentate astfel:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}u_{{ti}}^{ {\delta }}+\gamma _{i}I_{{ti}}^{-}u_{{ti}}^({\delta }})+\sum _{{j=1}}^{p }\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{{\delta }}~,~~I_{t}^{-}={\begin{cases}1,~u_{t}<0 \\0,~u_{t}\geqslant 0\end{cases}}$

unde pentru modelul Zakoyan , iar pentru modelul GJR - . De fapt, modelele introduc coeficienți diferiți pentru valorile trecute negative și pozitive ale seriei, așa că uneori modelul TGARCH este prezentat și în următoarea formă: $\delta=1$ $\delta=2$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}^{+}u_{{ti}}^{+}+ \alpha _{i}^{-}u_{{ti}}^{-})+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}$

unde . $u^{+}=\max(0,u)~,~u^{-}=\max(0,-u)$

QGARCH

Quadratic GARCH (QGARCH) propus de Sentana în 1995

$\sigma _{t}^{2}=\sigma ^{2}+a^{T}x_{tq}+x_{tq}^{T}Ax_{tq}+\sum _{j= 1}^{p}\beta _{j}\sigma _{tj}^{2}~,~~x_{tq}=(u_{t-1}...,u_{tq})^{T }$

unde A este o matrice definită pozitivă simetrică, a este un vector pozitiv.

Acest model ia în considerare, pe lângă efectul de pârghie, posibila interacțiune a influenței întârzierilor datorate elementelor off-diagonale ale matricei A . Dacă matricea A este diagonală și vectorul a este egal cu zero, atunci obținem modelele standard GARCH. Dacă, pentru o matrice diagonală A , vectorul a este diferit de zero, atunci avem GARCH asimetric. Dacă , unde c este un vector și coeficienții , atunci obținem un model liniar al abaterii standard $A=cc^{T},~a=2\sigma c$ $\beta _{j}=0$ $\sigma _{t}=|\sigma +c^{T}x_{{tq}}|$

Generalizarea modelelor

APGARCH

Modelul Asymmetric Power GARCH (APGARCH) a fost propus de Ding și alții în 1993 și este o generalizare a multor alte modele:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(|u_{{ti}}| -\gamma _{i}u_{{ti)))^{{\delta }}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{ {\delta }}~,~\delta >0,~-1<\gamma _{i}<1$

Dacă parametrul de putere este , iar factorul de asimetrie este , atunci obținem modelele obișnuite GARCH. Dacă (factorul de asimetrie este, de asemenea, zero), atunci obținem modelul GARCH pentru abaterea standard condiționată a lui Taylor (1986) și Schwert (1989): $\delta=2$ $\gamma _{i}=0$ $\delta=1$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|+\sum _{{j= 1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}$

Dacă factorul de asimetrie nu este egal cu zero, atunci obținem modelul TGARCH. Dacă factorul de asimetrie ia și valori nenegative, atunci obținem GJR-GARCH. $\delta=2$

În cazul general, dacă , atunci obținem GARCH neliniar (NGARCH) al lui Higgins și Behr, propus în 1992 $\gamma _{i}=0$

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|^ {{\delta }}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^({\delta }}~,~~,\delta >0$

Model Hentschel (fGARCH)

Acest model a fost propus de Hentschel în 1995. Folosește binecunoscuta transformare Box-Cox, care face posibilă luarea în considerare a unei mari varietăți de modele. Modelul cu un singur lag are forma:

${\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}=\alpha _{0}+\alpha \sigma _{{t-1}}^({\lambda }}f^ {{\nu }}(z_{{t-1}})+\beta {\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}~,~~f(z_{{t -1}})=|z_{{t}}-b|-c(z_{{t}}-b)$

Dacă și b=0, atunci obținem APGARCH(1,1) și, prin urmare, toate modelele private luate în considerare de ultimul model. Acest model, spre deosebire de APGARCH, face posibilă și obținerea EGARCH — în limita de la , transformarea Box-Cox este egală cu o funcție logaritmică, iar dacă , atunci obținem EGARCH(1,1). $\lambda=\nu$ $\lambda \rightarrow 0$ $\nu=1$

Distribuții utilizate

Modelele GARCH folosesc distribuții diferite pentru a se potrivi mai bine cu caracteristicile empirice ale seriei financiare. Chiar și utilizarea distribuției normale explică în mare măsură „cozile grase” în distribuția profiturilor. Cu toate acestea, acest lucru nu este suficient. Este adesea util să folosiți o distribuție Student cu un număr mic de grade de libertate, care are cozi mai grase decât distribuția normală. Astfel de modele sunt uneori denumite GARCH-t. Pentru a ține seama de asimetrie, se folosește și o distribuție specială a lui Student (distribuția t a lui Hansen). Astfel de modele sunt uneori denumite GARCH-HT

Distribuții GED.

Modele de regresie cu eroare GARCH

Modelele de regresie în care eroarea aleatoare satisface un anumit proces de heteroscedasticitate condiționată autoregresivă pot fi estimate folosind metoda celor mai mici pătrate obișnuite , care în acest caz va oferi și cele mai bune estimări liniare nepărtinitoare, deoarece varianța erorii aleatoare necondiționate este constantă și nu există autocorelație. a erorilor aleatorii. Cu toate acestea, este posibil să se obțină estimatori neliniari mai eficienți bazați pe metoda probabilității maxime . De exemplu, se poate demonstra că aplicarea metodei de probabilitate maximă la un model cu o eroare ARCH(1) este echivalentă cu reducerea la minimum a următoarei funcție:

$\sum _{{t=1}}^{n}\ln(a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2})+\sum _{{t=1}} ^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2}}}$

e -reziduurile modelului de regresie

Astfel, luarea în considerare a informațiilor suplimentare despre procesul GARCH în erori aleatorii permite obținerea unor estimări potențial mai precise ale parametrilor modelului.

Cu toate acestea, un efect și mai mare apare în cazul prognozelor pe termen scurt pe intervale care utilizează modele de regresie. În acest caz, modelul GARCH vă permite să estimați cu mai multă acuratețe varianța condiționată de informațiile din trecut și să construiți o prognoză pe intervale mai precisă.

În acest sens, este important să se testeze procesul ARCH în erorile de model.

Testarea ARCH

Testul folosește reziduurile de regresie cu cele mai mici pătrate. Pentru a face acest lucru, se construiește o regresie auxiliară a pătratelor reziduurilor pe pătratele reziduurilor trecute. Apoi, folosind testul F sau testul LM, se verifică semnificația acestei regresii auxiliare. Dacă este recunoscut ca fiind semnificativ, atunci efectul ARCH este semnificativ. În caz contrar, poate fi considerat nesemnificativ.

Note

↑ Eduardo Rossi Modele GARCH unidimensionale: o prezentare generală // Quantile. Nr. 8, p. 1–67.