Testul multiplicatorului Lagrange

Testul multiplicator Lagrange ( Eng. Testul multiplicator Lagrange, testul scorului ) este un test statistic utilizat pentru a testa constrângerile asupra parametrilor modelelor statistice estimate din datele eșantionului . Este unul dintre cele trei teste de bază de constrângere împreună cu testul raportului de probabilitate și testul Wald . Testul este asimptotic, adică este necesară o dimensiune a eșantionului suficient de mare pentru fiabilitatea concluziilor.

Esența și procedura testului

Să existe un model econometric cu vectorul parametru b. Este necesar să se testeze ipoteza folosind date eșantion , unde g este o mulțime (vector) a unor funcții parametrice. Ideea testului se bazează pe aplicarea binecunoscutei metode a multiplicatorilor Lagrange pentru estimarea parametrilor unui model limitat (scurt), bazat pe un model fără restricții (model lung). Fie log-probabilitatea pentru modelul lung să fie . Pentru a estima modelul scurt, este necesar să se construiască funcția Lagrange $H_{0}:~g(b)=0$ $livre)$

$F(b,\lambda )=l(b)-\lambda ^{T}g(b)$

Atunci condițiile maxime vor arăta astfel:

${\frac {\partial F(b,\lambda )}{\partial b))={\frac {\partial l(b)}{\partial b))-G(b)\lambda =0~,~ ~g(b)=0~,~G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b))$

Testul se bazează pe faptul că, dacă constrângerile sunt îndeplinite, atunci multiplicatorii Lagrange trebuie să fie egali cu zero. Deoarece valorile estimate vor fi utilizate în locul valorilor adevărate ale parametrilor, multiplicatorii Lagrange ar trebui să fie pur și simplu cât mai aproape posibil de zero, și anume, se poate demonstra că estimările multiplicatorilor Lagrange au o distribuție normală. cu așteptare matematică zero și o matrice de covarianță în funcție de matricea de covarianță a estimărilor parametrilor modelului lung. Apoi statisticile testului $(GV_{{{\hat {b}}}}G^{T})^{{-1}}$

$LM=\lambda ^{T}GV_{({\hat {b}}}}G^{T}\lambda$

va avea o distribuție chi-pătrat, cu q grade de libertate, unde q este numărul de constrângeri.

Cazuri speciale

Când se testează constrângeri liniare pentru un model de regresie liniară, statistica LM va fi egală cu

Se poate demonstra că pentru un model liniar clasic, statistica LM este

$LM={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{S}/n}}$

În special, la verificarea semnificației regresiei în ansamblu (adică la testarea ipotezei că toți coeficienții pentru factori, alții decât o constantă sunt egali cu zero) - suma totală a pătratelor (varianța variabilei dependente înmulțită cu n ). Prin urmare, $ESS_{S}=TSS$

$LM={\frac {TSS-ESS}{TSS/n}}=n(1-ESS/TSS)=nR^{2}$ ,

unde este coeficientul de determinare . $R^2$

Relația cu alte teste

Se dovedește că testul Wald (W), testul raportului de probabilitate (LR) și testul multiplicatorului Lagrange (LM) sunt teste echivalente asimptotic (LM=LR=W). Cu toate acestea, pentru eșantioanele finite, valorile statisticilor nu se potrivesc. Pentru constrângeri liniare, inegalitatea este demonstrată . Astfel, testul multiplicatorilor Lagrange va accepta mai des decât alte teste ipoteza nulă despre restricții (mai rar decât o vor respinge alții). În cazul constrângerilor neliniare, prima parte a inegalității este satisfăcută, în timp ce a doua parte nu este în general. $LM\leqslant LR\leqslant W$

În loc de testul LM, puteți utiliza testul F asimptotic , ale cărui statistici sunt legate de statisticile LM, după cum urmează:

$F={\frac {LM}{n-LM}}{\frac {nk}{q}}~{\xrightarrow {d}}~F(q,nk)$ ,

unde k este numărul de parametri ai modelului.

În multe cazuri, pe eșantioane mici, un astfel de test este chiar mai preferabil decât testul LM original.

Vezi și

Literatură

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. - M . : Delo, 2004. - 576 p.
William H. Greene. Analiza econometrică . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 p.