Filtru adaptiv

Un filtru adaptiv este un sistem cu un filtru liniar având o funcție de transfer controlată de parametri variabili și mijloace pentru setarea acestor parametri conform unui algoritm de optimizare . Datorită complexității algoritmilor de optimizare, aproape toate filtrele adaptive sunt filtre digitale . Filtrele adaptive sunt necesare pentru unele aplicații deoarece unii parametri ai operațiunii de prelucrare dorite (de exemplu, locația suprafețelor reflectorizante în spațiul reverberant ) nu sunt cunoscuți în prealabil sau se modifică. Filtrul adaptiv în buclă închisă utilizează feedback-ul de eroare pentru a optimiza funcția de transfer.

În general, procesul adaptiv în buclă închisă implică aplicarea funcției de cost , care este un criteriu pentru performanța optimă a filtrului, pentru a fi utilizată într-un algoritm care determină modul de modificare a funcției de transfer a filtrului pentru a minimiza costul la următoarea iterație. Funcția de preț cel mai frecvent utilizată este valoarea RMS a semnalului de eroare.

Pe măsură ce puterea procesoarelor de semnal digital a crescut, filtrele adaptive au devenit mai comune și sunt acum utilizate în mod obișnuit în dispozitive precum telefoanele mobile și alte dispozitive de comunicare, camere video și camere digitale și echipamente de monitorizare medicală.

Exemplu de aplicație

Înregistrarea bătăilor inimii ( ECG ) poate conţine zgomot AC . Frecvența exactă a tensiunii de rețea și armonicile acesteia se pot schimba din când în când.

O modalitate de a elimina zgomotul este filtrarea semnalului folosind un filtru de oprire a benzii pentru frecvența rețelei și a împrejurimilor sale, ceea ce poate strica foarte mult calitatea ECG, deoarece bătăile inimii pot avea componente de frecvență apropiate de regiunea de tăiere. .

Pentru a evita aceste potențiale pierderi de informații, poate fi utilizat un filtru adaptiv. Un filtru adaptiv ar putea primi atât semnalele pacientului, cât și a rețelei și ar putea urmări frecvența reală a zgomotului, precum și fluctuațiile acestuia și scădea zgomotul din înregistrare. Această tehnică adaptivă permite în general utilizarea filtrelor cu o bandă de tăiere mai îngustă, ceea ce înseamnă în acest caz un semnal de ieșire mai precis în scopuri medicale [1] [2] .

Diagrama casetei

Ideea unui filtru adaptiv în buclă închisă este că filtrul variabil este ajustat până când eroarea (diferența dintre ieșirea filtrului și semnalul dorit) este minimă. Filtrul de eroare medie pătratică minimă (filtru MSK, ing. Least Mean Squares , LMS) și filtrul recursiv de eroare medie pătratică (filtru RSK, ing. Recursive Least Square , RLS) sunt filtre adaptive.

Există două intrări de filtru adaptiv: d k și x k , care sunt uneori denumite intrare principală și , respectiv , intrare de referință [3] .

d_{k}

care include semnalul dorit plus interferenţa nedorită şi

x_{k}

care include semnale care se corelează cu unele interferenţe nedorite în .

d_{k}

k reprezintă un număr de instanță discret.

Filtrul este controlat de un set de coeficienți sau greutăți L+1.

\mathbf {W} _{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\,...,\,w_{Lk}\right]^{T)

reprezintă un set de vectori sau greutăți care controlează filtrul la momentul k. unde se referă la --a greutate la momentul k.

w_{lk)

l

\mathbf {\Delta W} _{k)

reprezintă modificările ponderilor care apar ca urmare a ajustării la momentul k. Aceste modificări vor fi aplicate după timpul k și înainte de a fi utilizate la momentul k+1.

Ieșirea este de obicei , dar poate fi sau chiar coeficienți de filtrare [4] . $\epsilon _{k)$ $y_{k)$

Semnalele de intrare sunt definite după cum urmează:

d_{k}=g_{k}+u_{k}+v_{k)

{\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'))

Unde: g = semnal dorit, g' = semnal corelat cu semnalul dorit g , u = semnal nedorit adăugat la g , dar necorelat cu g sau g' u' = semnal corelat cu semnalul nedorit u dar necorelat cu g sau g' , v = semnal nedorit (de obicei zgomot aleatoriu) necorelat cu g , g' , u , u' sau v' , v' = semnal nedorit (de obicei zgomot aleator) necorelat cu g , g' , u , u' sau v .

Semnalele de ieșire sunt definite după cum urmează:

y_{k}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}

\epsilon _{k}=d_{k}-y_{k)

. Unde

{\pălărie {g)}

= ieșirea filtrului dacă este introdus doar g' ,

{\pălărie {u)}

= ieșirea filtrului dacă este introdus doar u' ,

{\pălărie {v)}

= ieșirea filtrului dacă numai v' este intrarea .

Filtru FIR cu linie de întârziere secțională

Dacă filtrul variabil are o linie de întârziere secțională cu o structură care are un răspuns la impuls finit (FIR, ing. Răspuns la impuls finit , FIR), atunci răspunsul la impuls este egal cu coeficienții filtrului. Ieșirea filtrului este dată de expresia

y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(kl)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u} }_{k}+{\hat {v}}_{k}

unde se referă la --a greutate la momentul k.

w_{lk)

l

Caz ideal

Ideal . Toate semnalele nedorite în sunt reprezentate prin valori . Valoarea constă în întregime din semnalul corelat cu semnalul nedorit în . $v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0$ $d_{k}$ $u_{k)$ $\ x_{k)$ $u_{k)$

Ieșirea filtrului variabil este în mod ideal egală cu

y_{k}={\hat {u}}_{k}

Semnalul de eroare sau funcția de preț este diferența dintre și $d_{k}$ $y_{k)$

\epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}

. Semnalul dorit g k trece neschimbat.

Semnalul de eroare este minimizat în sensul rms atunci când este minimizat. Cu alte cuvinte, este cea mai bună estimare rms a . În mod ideal, și tot ce rămâne după scădere este , care este semnalul dorit neschimbat cu toate semnalele nedorite eliminate. $\epsilon _{k)$ $[u_{k}-{\hat {u}}_{k}]$ ${\pălărie {u}}_{k}$ $u_{k)$ $u_{k}={\hat {u}}_{k}$ $\epsilon _{k}=g_{k)$ $g$

Componentele semnalului în intrarea de referință

În unele cazuri, intrarea de control include componentele semnalului dorit. Aceasta înseamnă g' ≠ 0. $x_k$

Înlăturarea completă a interferențelor nedorite este imposibilă în acest caz, dar este posibilă îmbunătățirea semnalului în ceea ce privește nivelul de interferență. Ieșirea va

\epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_ {k}

. Semnalul dorit va fi modificat (de obicei redus).

Raportul ieșire la interferență are o formulă simplă numită inversare a puterii .

\rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)))

. Unde

\rho _{\mathsf {out}}(z)\

= raportul dintre semnalul de ieșire și interferența interferenței.

\rho _{\mathsf {ref}}(z)\

= raportul dintre semnalul pilot și interferența interferenței.

z\

= frecvența în domeniul z.

Această formulă înseamnă că raportul dintre semnalul de ieșire și interferența la o anumită frecvență este opus raportului dintre semnalul pilot și interferența [5] .

Exemplu: un restaurant fast-food are o alee pentru a servi șoferii. Înainte de a ajunge la fereastră, utilizatorii plasează comanda vorbind la microfon. Microfonul preia, de asemenea, zgomotul de motor și ambiental. Acest microfon preia semnalul principal. Puterea semnalului de la vocea utilizatorului și de la motor sunt aceleași. Este dificil pentru personalul restaurantului să înțeleagă utilizatorul. Pentru a reduce cantitatea de zgomot de interferență din microfonul principal, cel de-al doilea microfon este plasat acolo unde preia sunetul motorului. De asemenea, captează vocea utilizatorului. Acest microfon este sursa semnalului de control. În acest caz, zgomotul motorului este de 50 de ori mai mare decât puterea vocii clientului. După eliminarea zgomotului, raportul semnal principal la interferență va fi îmbunătățit de la 1:1 la 50:1.

Dispozitiv de îmbinare liniar adaptiv

Un combinator liniar adaptiv (ALC) este similar cu un filtru FIR adaptiv cu o linie de întârziere secțională, cu excepția faptului că nu există ipoteze despre relația dintre valorile X. Dacă valorile X sunt obținute ca ieșire a liniei de întârziere secțională , atunci combinația dintre linia de întârziere secțională și ALC ar putea constitui un filtru adaptiv. Cu toate acestea, valorile X pot fi o matrice de pixeli sau pot fi ieșirile mai multor linii de întârziere secționale. ALC își găsește aplicație ca formator de fascicul adaptiv pentru rețele de hidrofoane sau antene.

{\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{ k))

unde înseamnă --a greutate la momentul k.

w_{lk)

l

Algoritmul MSC

Dacă filtrul variabil are o structură FIR cu o linie de întârziere secțională, atunci algoritmul de actualizare MSC este deosebit de simplu. De obicei, după sosirea fiecărui element, coeficienții filtrului FIR sunt recalculați după cum urmează [6] :

pentru

l=0\dots L

w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \\epsilon _{k}\x_{kl)

μ se numește factor de convergență .

Algoritmul MSC nu necesită ca valorile X să aibă vreo relație. Prin urmare, poate fi folosit pentru un dispozitiv de îmbinare liniară, precum și pentru un filtru FIR. În acest caz, formula de actualizare este scrisă după cum urmează:

w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \\epsilon _{k}\x_{lk)

Efectul algoritmului MSC este că de fiecare dată k se face o mică modificare a ponderilor. Direcția de schimbare este aleasă pentru a reduce eroarea dacă algoritmul ar fi fost aplicat la momentul k. Cantitatea de modificare pentru fiecare greutate depinde de μ, valoarea asociată a lui X și eroarea la momentul k. Greutățile care contribuie mai mult la producție se schimbă mai mult. Dacă eroarea este zero, nu se modifică ponderile. Dacă valoarea asociată a lui X este zero, atunci modificarea ponderilor nu are efect, astfel încât acestea nu se modifică. $y_{k)$

Convergență

Valoarea lui μ controlează cât de repede și cât de bine converge algoritmul către coeficienții optimi de filtru. Dacă μ este prea mare, algoritmul nu va converge. Dacă μ este prea mic, algoritmul converge lent și este posibil să nu poată urmări modificările. Dacă μ este mare, dar nu prea mare pentru a diverge, algoritmul ajunge la o stare de echilibru rapid, dar face în mod constant modificări excesive ale vectorului de greutate. Uneori, μ este mai întâi făcut mare pentru o convergență rapidă și apoi este redus treptat pentru a minimiza „depășirea”.

Widrow și Cearns au susținut în 1985 că nu cunoșteau o dovadă că algoritmul MSC converge în toate cazurile [7] .

Cu toate acestea, în baza unor ipoteze de staționaritate și independență, se poate demonstra că algoritmul converge dacă

0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}

Unde

\sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2)

= suma tuturor valorilor de intrare

\sigma _{l)

este valoarea rădăcină medie pătrată ( RMS) a intrării --a

l

În cazul unui filtru de linie de întârziere secțional, fiecare intrare are aceeași valoare CK, deoarece sunt aceeași valoare rezultată din întârziere. În acest caz, valoarea totală a semnalului este

\sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}

Unde

\sigma _{0}

este valoarea CK a fluxului de intrare [7] .

x_k

Aceasta duce la algoritmul MSC normalizat:

w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k }\x_{kl}

iar în acest caz criteriul de convergenţă devine . $0<\mu _{\sigma <1$

Aplicații ale filtrelor adaptive

Implementări de filtrare

Filtru de eroare pătrată medie minimă
Filtru recursiv de eroare medie pătrată minimă
Filtru bloc cu adaptare domeniului de frecvență cu întârzieri

Vezi și

Filtre adaptive 2D
Filtru (prelucrarea semnalului)
filtru Kalman
Filtru adaptiv nuclear
Predicție liniară
estimarea Wiener
Ecuația Wiener-Hopf

Note

↑ Thakor, Zhu, 1991 , p. 785–794.
↑ Widrow și Stearns 1985 , p. 329.
↑ Widrow și Stearns 1985 , p. 304.
↑ Widrow și Stearns 1985 , p. 212.
↑ Widrow și Stearns 1985 , p. 313.
↑ Thakor, Zhu, 1991 , p. 786.
↑ 1 2 Widrow, Stearns, 1985 , p. 103.

Literatură

Thakor NV, Yi-Sheng Zhu. Aplicații ale filtrării adaptive la analiza ECG: anularea zgomotului și detectarea aritmiei // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1991. - August ( vol. 38 , numărul 8 ). — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/10.83591 .
Bernard Widrow, Samuel D. Stearns. Procesare adaptivă a semnalului. — 1-a. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
Monson H. Hayes. Procesarea și modelarea statistică a semnalului digital. - Wiley, 1996. - ISBN 0-471-59431-8 .
Simon Haykin. Teoria filtrului adaptiv. - Prentice Hall, 2002. - ISBN 0-13-048434-2 .

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană