Ecuația Wiener-Hopf

Ecuația Wiener-Hopf este o ecuație integrală liniară cu un nucleu de diferență pe semiaxa pozitivă:

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty}K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

unde este funcția dorită ; , sunt funcții cunoscute, sunt parametri. Când se numește ecuația Wiener-Hopf de primul fel, când se numește ecuația Wiener-Hopf de al 2-lea fel. A fost obținut de Wiener și Hopf când au rezolvat problema echilibrului radiativ în interiorul stelelor. Folosit și în cibernetică , la rezolvarea problemelor de extragere și filtrare a unui semnal util din amestecul acestuia cu zgomot. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ $\lambda ,\beta$ $\beta=0$ $\beta=1$

Metoda soluției

Pentru soluție, așa-zisa. funcții unidirecționale și egale cu și pentru x>0 și egale cu 0 pentru x<0 și o funcție egală cu 0 pentru x>0. Cu ajutorul funcțiilor unidirecționale, ecuația se scrie sub forma: . Astfel, cu ajutorul funcțiilor unilaterale, domeniul de definire al ecuației este extins la semiaxa negativă. Se aplică apoi transformata Fourier directă . Pentru ecuația de imagine se rezolvă problema valorii la limită Riemann, i.e. funcţii şi sunt definite . Soluția ecuației integrale este transformata Fourier inversă a funcției : . $\varphi _{+}(x)$ $f_{+}(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi _{-}(x)$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ $\varphi ^{-}$ $\varphi ^{+)$ $\varphi ^{+)$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Literatură

Enciclopedie fizică. T.1. Editor sef A.M. Prohorov. Enciclopedia M. Sov. 1988.
N. Wiener „Sunt matematician” M.: Nauka, 1964, V 48 51 (09) UDC 510 (092), 353 pagini cu ilustrații, cap. 6 „Succesele și bucuriile creative. 1927-1931”, p. 120-143;
Samoilenko V. I., Puzyrev V. A., Grubrin I. V. „Cibernetică tehnică”, manual. indemnizație, M., editura MAI , 1994, 280 pagini cu ilustrații, ISBN 5-7035-0489-9 , LBC 14.2.5 C 17 UDC 621.396.6, cap. 3 „Sinteza sistemelor liniare. Sisteme optime”, p. 3.3 „Optimizarea sistemelor conform criteriului ISCED. Ecuații Wiener-Hopf.», p. 60-63;
A. V. Manzhirov, A. D. Polyanin „Manual de ecuații integrale. Solution Methods”, M., Factorial Press, 2000, 384 pagini, ISBN 5-88688-046-1 , LBC 517.2 M 23 UDC 517.9, cap. 5 „Metode de rezolvare a ecuațiilor integrale”, p. 5.9-1 „Ecuația Wiener-Hopf de al doilea fel”.
Myshkis A.D. „Matematică pentru universități tehnice”, spec. cursuri, ed. a II-a, Sankt Petersburg, editura Lan, 2002, 640 p., ISBN 5-8114-0395-X , cap. 7 „Ecuații integrale”, articolul 4 „Câteva clase speciale de ecuații”, articolul 8 „Ecuația lui Fredholm cu un nucleu de diferență pe semiaxă”.
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Equations in convolutions and projection methods for their solution, M., editura „Nauka”, 1971, 352 p.