Alternativă

Alternativa ( asociativitatea binară ) este o proprietate a unei operații binare , care este o versiune slăbită a asociativității : pentru orice elemente $\circ$ $X y$

$\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)$ - alternativa corecta,
$\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x$ - alternativă stânga.

Fiecare operație asociativă este alternativă; invers nu este adevărat în general: de exemplu, înmulțirea octonionilor este alternativă, dar nu asociativă.

În orice magmă a cărei pereche de elemente generează o submagmă asociativă, operația binară este alternativă. Reversul nu este adevărat în cazul general, dar în cazul inelelor neasociative , alternativitatea inelului implică asociativitatea subinelelor generate de fiecare pereche de elemente ( teorema lui Artin ).

Din punct de vedere istoric, primul exemplu de structură alternativă sunt numerele Cayley , care formează un corp alternativ ; aplicatii importante in fizica se gasesc in algebrele alternative .

O altă opțiune pentru slăbirea asociativității este asociativitatea puterii . Uneori, această proprietate este considerată mai slabă decât alternativitatea, deoarece în unele condiții suplimentare, alternativitatea implică asociativitatea puterii, dar în general nu este cazul: de exemplu, pentru o magmă de elemente cu multiplicare alternativă introdusă după cum urmează: $e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$

$e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j)$ cu exceptia , $e_{3}\circ e_{3}=e_{\star )$
$e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6)$ ,
$e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12)$

asociativitatea puterii eșuează:

((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3} \circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}

Literatură

Kurosh A.G. Algebră generală . - M . : Mir , 1970. - 162 p.
Cohn P. Algebră universală . - Moscova: Mir , 1968. - 351 p.
Inele și algebre alternative - articol din Encyclopedia of Mathematics . K. A. Jevlakov