Algebra Cayley

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 martie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Algebra Cayley este un sistem de numere hipercomplexe , o algebră cu 8 dimensiuni peste câmpul numerelor reale . De obicei desemnate pentru că elementele sale ( numerele Cayley ) sunt uneori numite octonii sau octave . ${\mathbb {O}}$

Considerat pentru prima dată în 1843 de John Graves , un prieten [1] al lui William Hamilton , iar doi ani mai târziu independent de Arthur Cayley .

Numărul Cayley este o combinație liniară de elemente . Fiecare octava poate fi scrisa sub forma: $\{1,i,j,k,l,il,jl,kl\)$ $X$

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6 }\,jl+x_{7}\,kl

cu coeficienți reali . Octonii sunt folosiți în fizică, în special, în teoria relativității speciale și teoria corzilor [2] . $x_{i}$

Tabelele înmulțirii

Tabelul de multiplicare a elementelor de octave:

unu	eu ( e1 )	j ( e2 )	k ( e3 )	l ( e4 )	il ( e5 )	jl ( e6 )	kl ( e7 )
eu ( e1 )	−1	k	− j	il	−l _	−kl _	jl
j ( e2 )	− k	−1	i	jl	kl	−l _	−il _
k ( e3 )	j	− i	−1	kl	− jl	il	−l _
l ( e4 )	−il _	− jl	−kl _	−1	i	j	k
il ( e5 )	l	−kl _	jl	− i	−1	− k	j
jl ( e6 )	kl	l	−il _	− j	k	−1	− i
kl ( e7 )	− jl	il	l	− k	− j	i	−1

Tabelul (Cayley) de multiplicare a octonionilor [3] :

e 0	e 1	e 2	e 3	e 4	e 5	e 6	e 7
e 1	−1	e 3	−e 2	e 5	−e 4	−e 7	e 6
e 2	−e 3	−1	e 1	e 6	e 7	−e 4	−e 5
e 3	e 2	−e 1	−1	e 7	−e 6	e 5	−e 4
e 4	−e 5	−e 6	−e 7	−1	e 1	e 2	e 3
e 5	e 4	−e 7	e 6	−e 1	−1	−e 3	e 2
e 6	e 7	e 4	−e 5	−e 2	e 3	−1	−e 1
e 7	−e 6	e 5	e 4	−e 3	−e 2	e 1	−1

Uneori, acestea sunt înlocuite cu o literă de desemnare:

Număr	unu	2	3	patru	5	6	7
Scrisori	i	j	k	l	il	jl	kl
Înlocuire	i	j	k	l	m	n	o

Proprietăți

După teorema Frobenius , algebra Cayley este singura algebră alternativă reală cu 8 dimensiuni fără divizori zero .

Algebra Cayley este o alternativă, dar neasociativă și necomutativă , algebră de diviziune și unitate .

Pentru o octonion , operația de conjugare este definită de egalitatea: $x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6 }\,jl+x_{7}\,kl$

x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5} \,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl

Conjugarea satisface egalitățile:

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

și

x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+(( jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).

Partea reală a octonionului este definită de egalitatea: $X$

{\frac 12}(x+x^{*})=x_{0}

parte imaginara:

{\frac {1}{2}}(xx^{*})

Norma octonion : ; dacă și numai dacă . Din definiția normei rezultă că octonionul este inversabil și $X$ $\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}$ $\|x\|=0$ $x=0$ $x\neq 0$

x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}

Din cauza neasociativității, octonionii nu au reprezentări matriceale.

Note

↑ Unde s-a ascuns cea mai liberă algebră? (HTML) (link indisponibil) (26 ianuarie 2003). Consultat la 4 octombrie 2009. Arhivat din original pe 27 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Ian Stewart: The Missing Link Arhivat 5 mai 2010 la Wayback Machine Link-ul este indisponibil din 6 noiembrie 2010. Articolul cu link-ul lipsă pe yahoo.com, traducere în rusă Arhivat 6 mai 2010 pe Wayback Machine la scientific.ru.
↑ Antisimetria diagonală pentru −1

Literatură

Ioan Baez . Octonions Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine // Numerele hipercomplexe în geometrie și fizică, nr. 1(5), vol. 3 (2006), pp.120-176.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Algebră peste inel
Dimensiune - Puterea lui 2	Numere complexe (mărimea 2) $\mathbb {C}$ Cuaternioane (mărimea 4) $\mathbb {H}$ Numere Cayley/Octonii/Octave (Mărimea 8) $\mathbb O$ Sedenions (mărimea 16) $\mathbb S$
Vezi si	Teorema Frobenius Număr hipercomplex Algebră Corp unitate imaginară