Progresia aritmetico-geometrică

O progresie aritmetic-geometrică este o succesiune de numere date printr -o relație recursivă , unde și sunt constante [1] . Cazurile particulare de progresie aritmetică-geometrică sunt progresia aritmetică (pentru ) și progresia geometrică (pentru ). $u_{{n}}$ $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $q$ $d$ $q=1$ $d=0$

Formula generală a termenului

Să luăm în considerare relația inițială: la $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $n=1,2,...$

Lăsați în acest raport și . Adăugând expresia ambelor părți , obținem $q\neq 1$ $d\neq 0$ ${\frac {d}{q-1))$

u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

\ldots

u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

Înmulțind egalitățile indicate și reducând aceiași factori (sau înlocuind în continuare partea stângă a ecuației în ordine în locul parantezelor din partea dreaptă), obținem o formulă explicită pentru termenul de progresie aritmetic-geometrică:

u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1)))-{\frac {d}{q-1))

Proprietăți

Progresia aritmetico-geometrică este o succesiune reciprocă de ordinul doi și este dată de ecuația:

u_{{n+1}}=(q+1)u_{{n}}-qu_{{n-1}}

Diferența progresiei aritmetice-geometrice este determinată de formulă $d$

d={\frac {u_{{n}}^{{2}}-u_{{n-1}}u_{{n+1}}}{u_{{n}}-u_{{n-1 }}}}

Secvența este o progresie geometrică cu același numitor . $a_{{n}}=u_{{n+1}}-u_{{n}}$ $q$

Secvența sumelor parțiale ale membrilor unei progresii aritmetice-geometrice este o succesiune reciprocă de ordinul trei și este dată de ecuația:

S_{{n+1}}=(q+2)S_{{n}}-(2q+1)S_{{n-1}}+qS_{{n-2}}

Dacă șirul de sume parțiale este o progresie aritmetică-geometrică, atunci șirul în sine este o progresie geometrică.

Note

↑ Sukonnik Ya. N. Progresie aritmetică-geometrică // Kvant . - 1975. - Nr 1. - S. 36-39.