Progresie aritmetică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 octombrie 2022; verificările necesită 7 modificări .

Progresia aritmetică este o succesiune numerică a formei

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots

adică o succesiune de numere ( membri ai progresiei), în care fiecare număr, începând de la al doilea, este obținut de la precedentul prin adăugarea unui număr constant ( pas , sau diferență de progresie ): $d$

a_n=a_{n-1} + d\quad

Orice ( n --lea) termen al progresiei poate fi calculat folosind formula termenului general:

a_n=a_1 + (n-1)d

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă . Pentru , este în creștere, iar pentru , este în scădere. Dacă , atunci secvența va fi staționară. Aceste afirmații rezultă din relația pentru termenii unei progresii aritmetice. $d>0$ $d<0$ $d=0$ $a_{n+1}-a_n=d$

Proprietăți

Termen general al unei progresii aritmetice

Un membru al unei progresii aritmetice cu un număr poate fi găsit folosind formulele $n$

a_n=a_1+(n-1)d

a_{n}=a_{m}-(mn)d

unde este primul membru al progresiei, este diferența acestuia, este membrul progresiei aritmetice cu numărul .

a_{1}

d

a.m

m

Dovada
Folosind raportul , notăm succesiv mai mulți membri ai progresiei și anume: $a_{n+1}=a_n+d$ $a_2=a_1+d$ $a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$ $a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$ $a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$ După ce am observat un model, presupunem că . Folosind inducția matematică , arătăm că ipoteza este adevărată pentru toate : $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \in \mathbb N$ Baza de inducție : $(n=1)$ $a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ - afirmația este adevărată. Transfer de inducție : Fie ca afirmația noastră să fie adevărată pentru , adică . Să demonstrăm adevărul afirmației pentru : $n=k$ $a_k=a_1+(k-1)d$ $n=k+1$ $a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$ Deci, afirmația este valabilă și pentru . Aceasta înseamnă că pentru toți . $n=k+1$ $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \in \mathbb N$

O proprietate caracteristică a unei progresii aritmetice

Secvența este o progresie aritmetică pentru oricare dintre elementele sale, condiția este îndeplinită . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $\Săgeată stânga la dreapta$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$

Dovada
nevoie : Deoarece este o progresie aritmetică, sunt valabile următoarele relații: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $n \geqslant 2$ $a_n=a_{n-1}+d$ $a_n=a_{n+1}-d$ . Adunând aceste egalități și împărțind ambele părți la 2, obținem . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ Suficiență : Avem că pentru fiecare element al secvenței, începând de la al doilea, . Trebuie arătat că această secvență este o progresie aritmetică. Să transformăm această formulă în forma . Deoarece relațiile sunt adevărate pentru toți , folosim inducția matematică pentru a arăta că . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ $n \geqslant 2$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ Baza de inducție : $(n=2)$ $a_2-a_1=a_3-a_2$ - afirmația este adevărată. Transfer de inducție : Fie ca afirmația noastră să fie adevărată pentru , adică . Să demonstrăm adevărul afirmației pentru : $n=k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $n=k+1$ $a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Dar din ipoteza inductivă rezultă că . Înțelegem asta $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$ Deci, afirmația este valabilă și pentru . Aceasta înseamnă că . $n=k+1$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n +1}-a_n$ Să notăm aceste diferențe prin . Deci, , și, prin urmare, avem pentru . Deoarece relația este adevărată pentru membrii șirului , atunci aceasta este o progresie aritmetică. $d$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ $a_{n+1}=a_n+d$ $n \in \mathbb N$ $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $a_{n+1}=a_n+d$

Suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice $n$

Suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele $n$ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n))$

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n

, unde este primul termen al progresiei, este termenul cu numărul , este numărul de termeni însumați.

a_{1}

un

n

n

S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_ {1}}}+1)

- unde - primul membru al progresiei, - al doilea membru al progresiei - membrul cu numărul .

a_{1}

a_{2}

,a_{n}

n

S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n

, unde este primul termen al progresiei, este diferența progresiei, este numărul de termeni însumați.

a_{1}

d

n

Dovada
Să scriem suma în două moduri: $S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ - aceeași sumă, doar termenii merg în ordine inversă. Acum adăugăm ambele egalități, adăugând succesiv termenii din partea dreaptă care stau pe aceeași verticală: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1 }+a_2)+(a_n+a_1)$ Să arătăm că toți termenii (toți parantezele) ai sumei rezultate sunt egali. În termeni generali, fiecare termen poate fi exprimat ca . Să folosim formula termenului comun al unei progresii aritmetice: $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$ $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$ Am constatat că fiecare termen nu depinde de și este egal cu . În special, . Din moment ce există astfel de termeni , atunci $i$ $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$ $n$ $2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ A treia formulă pentru suma se obține prin înlocuirea cu . Ceea ce decurge deja direct din expresia pentru termenul comun. $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n$ Observatie : În schimb , în prima formulă pentru sumă, puteți lua oricare dintre ceilalți termeni , deoarece toți sunt egali unul cu celălalt. $a_1+a_n$ $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$

Suma termenilor unei progresii aritmetice de la -th la -th $n$ $m$

Suma membrilor unei progresii aritmetice cu numere de la până la poate fi găsită folosind formulele $n$ $m$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m))$

S_{m,n}={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)

, unde este termenul cu numărul , este termenul cu numărul , și este numărul de termeni însumați.

a.m

m

un

n

(m-n+1)

S_{m,n}={\frac {2a_{n}+d(mn)}{2}}\cdot (m-n+1)

, unde este termenul cu numărul , este diferența de progresie, este numărul de termeni însumați.

un

n

d

(m-n+1)

Convergența unei progresii aritmetice

Progresia aritmetică diverge la și converge la . Și $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d\ne 0$ $d=0$

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix }\dreapta.

Dovada
După ce am scris expresia pentru termenul comun și examinând limita , obținem rezultatul dorit. $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Fie o progresie aritmetică cu o diferență și un număr . Atunci succesiunea formei este o progresie geometrică cu numitor . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d$ $a>0$ $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $a^d$

Dovada
Să verificăm proprietatea caracteristică pentru progresia geometrică formată: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$ Să folosim expresia pentru termenul comun al unei progresii aritmetice: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd} }=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d }=a^{a_n}, n\geqslant 2$ Deci, deoarece proprietatea caracteristică este valabilă, atunci este o progresie geometrică. Numitorul său poate fi găsit, de exemplu, din relația . $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$

Corolar : Dacă o succesiune de numere pozitive formează o progresie geometrică, atunci șirul logaritmilor lor formează o progresie aritmetică.

Progresii aritmetice ale ordinelor superioare

O progresie aritmetică de ordinul doi este o astfel de succesiune de numere încât succesiunea diferențelor lor formează în sine o simplă progresie aritmetică. Un exemplu este șirul de pătrate de numere naturale :

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

ale căror diferențe formează o simplă progresie aritmetică cu o diferență de 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Numerele triunghiulare formează, de asemenea, o progresie aritmetică de ordinul doi, diferențele lor formează o progresie aritmetică simplă $1,3,6,10,15,\ldots$ $2,3,4,5,\ldots$

Numerele tetraedrice formează o progresie aritmetică de ordinul trei, diferențele lor sunt numere triunghiulare. $1,4,10,20,35,\ldots$

Progresiile de ordine superioare sunt definite în mod similar. În special, o succesiune de puteri a n- a formează o progresie aritmetică de ordinul al n -lea .

Dacă este o progresie aritmetică de ordin , atunci există un polinom astfel încât pentru toate egalitatea [1] $\left[a_{{i}}\right]_{{1}}^{{n}}$ $m$ $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{{1}}i+c_{{0}}$ $i\în \left\{1,....n\right\}$ $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$

Exemple

O serie naturală este o progresie aritmetică în care primul termen este , iar diferența este . Suma primilor termeni ai seriei naturale se numește „ număr triunghiular ”: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ $a_1=1$ $d=1$ $n$

T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2))

$1, -1, -3, -5, -7$ sunt primii 5 membri ai unei progresii aritmetice în care și . $a_1=1$ $d=-2$
Dacă toate elementele unei anumite secvențe sunt egale între ele și egale cu un anumit număr , atunci aceasta este o progresie aritmetică în care și . În special, există o progresie aritmetică cu diferență . $A$ $a_1=a$ $d=0$ $\pi, \pi, \pi, \ldots$ $d=0$

Formula pentru diferență

Dacă sunt cunoscuți doi membri ai unei progresii aritmetice, precum și numerele lor din aceasta, atunci puteți găsi diferența ca

{\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{mn}}}}

Suma numerelor de la 1 la 100

Potrivit legendei, profesorul de matematică al tânărului Gauss , pentru a-i ține ocupați pe copii mult timp, i-a invitat să numere suma numerelor de la 1 la 100. Gauss a observat că sumele pe perechi de la capete opuse sunt aceleași: 1+100=101, 2+99=101 etc. etc., și a obținut instantaneu rezultatul: 5050. Într-adevăr, este ușor de observat că soluția se reduce la formula

\frac{n(n+1)}2

adică la formula pentru suma primelor numere ale seriei naturale. $n$

Vezi și

Note

↑ Bronstein, 1986 , p. 139.

Literatură

Bronshtein IN , Semendyaev KA Manual de matematică pentru ingineri și elevi de liceu . — M .: Nauka, 1986. — 544 p.

Link -uri

Progresie aritmetică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890. - T. II. - S. 98.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Brockhaus și Efron Brockhaus și Efron in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007531747705171 LCCN : sh85120238