Asociativitate (matematică)

Asociativitatea ( compatibilitatea ) este o proprietate a unei operaţii binare , care constă în capacitatea de a aplica secvenţial o formulă într - o ordine arbitrară elementelor . $\circ$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

Termenul a fost introdus de William Hamilton în 1853 .

Deoarece pentru operațiile asociative rezultatul expresiei nu depinde de ordinea aplicării, parantezele sunt omise la notare. Pentru o operație non -asociativă , expresia pentru nu este definită fără un acord ulterioar cu privire la ordinea aplicării. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Exemple de operații asociative:

adunarea numerelor reale : $(a+b)+c=a+(b+c)$
inmultirea numerelor reale : $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
compoziția funcției : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Un exemplu de operație neasociativă este exponențiarea - rezultatul expresiei depinde direct de aranjarea parantezelor, în cazul general . $a^{b^{c)}$ $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c)$

Nu orice operație comutativă este asociativă - există magme comutative cu una neasociativă.

Asociativitatea joaca un rol important in algebra generala : in majoritatea structurilor luate in considerare, operatiile binare sunt asociative ( grupuri , inele , campuri , semiretele si retele ). Teoria semigrupurilor investighează de fapt fenomenul de asociativitate prin metode algebrice generale. În același timp, sunt considerate în mod special și sistemele neasociative și anume: cvasigrupuri , bucle , inele neasociative , algebre neasociative . Studiul lor este complicat de faptul că multe proprietăți ale sistemelor asociative nu sunt valabile pentru ei. Uneori, problemele portabilității proprietăților către structuri non-asociative se dovedesc a fi netriviale (de exemplu, problema validității teoremei lui Lagrange pentru bucle finite este deschisă).

În informatică , asociativitatea este considerată o proprietate utilă, în special, care vă permite să utilizați paralelismul pentru aplicații secvențiale ale unei operații. În același timp, multe operații practice (adunarea și înmulțirea când se lucrează cu numere în virgulă mobilă ) se dovedesc a fi neasociative.

Proprietatea este generalizată în mod natural la cazul -ary: o operație se numește asociativă dacă identitatea este valabilă pentru toate: $n$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \dots, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}),x_{n+1},\dots,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ puncte ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n -unu})

Versiuni slăbite ale proprietății de asociativitate - asociativitate de putere , alternativitate , elasticitate - în ele, schimbarea ordinii de aplicare secvențială este posibilă doar pentru un set limitat de cazuri.

Literatură

Asociativitatea - articol din Encyclopedia of Mathematics . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov
Shevrin L. N. . Capitolul IV. Semigrupuri // Algebră generală / Sub general. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .