Multivector

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 decembrie 2020; verificările necesită 10 modificări .

Un multivector este un element al algebrei externe , care este suma polivectorilor (vectori, bivectori, trivectori etc.).

Orice polivector (k-vector) poate fi reprezentat ca o sumă de k-lame (k-vectori simpli), unde fiecare k-lamă, la rândul său, poate fi descompusă într-un produs exterior de k vectori.

O lamă cu două lame poate fi reprezentată geometric ca un plan orientat în spațiu de orice dimensiune și poate fi folosită pentru a reprezenta rotația în ea.

Un n-vector într-un spațiu n-dimensional se numește pseudoscalar , în timp ce un vector (n-1) este numit pseudovector . Deci un pseudovector al spațiului tridimensional este orice bivector.

Suma unui vector 1 și a unui scalar este cunoscută și ca paravector .

k-vector este dual cu k-form .

Proprietăți:

Orice sistem liniar independent de vectori din definește un k-vector diferit de zero; $a_{1},a_{2},\dots,a_{k)$ $V$
Sisteme liniar independente și generează același subspațiu în dacă și numai dacă ; $a_{1},a_{2},\dots,a_{k)$ $b_{1},b_{2},\dots,b_{k)$ $V$
$a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{k}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{k)$
Pentru orice polivector diferit de zero , anihilatorul său este un subspațiu de dimensiune , iar polivectorul este descompunebil dacă și numai dacă ; $t\in \bigwedge \nolimits ^{k}V$ $\operatorname {Ann}t=\{v\in V|t\wedge v=0\}$ $\leq k$ $t$ $\dim \operatorname {Ann} t=k$
K-vectorii descompunebili ai unui spațiu n - dimensional V formează o varietate algebrică conică în varietatea algebrică proiectivă corespunzătoare este varietatea Grassmann ; $\Lambda ^{k}(V)$
Orice n -vector sau ( n - 1) -vector diferit de zero în spațiul n -dimensional este descompunebil;
Bivectorul este descompunebil dacă și numai dacă ; $t$ $t\wedge t=0$
Dacă fixăm un vector diferit de zero , atunci apare un izomorfism natural: $n$ $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)$ $\pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\la \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$ astfel încât pentru toată lumea . $t\wedge u=\langle \pi (t),u\rangle \omega$ $u\in \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$

Note

Literatură

Kostrikin A.P., Manin Yu.I. Linear Algebra and Geometry (link inaccesibil) , - Nauka, Moscova, 1980.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.