Vector axial

Vectorul axial , sau pseudovectorul , este o mărime ale cărei componente sunt transformate ca componente ale unui vector obișnuit (adevărat) atunci când sistemul de coordonate este rotit , dar își schimbă semnul opus modului în care componentele vectoriale se comportă cu orice inversare (inversare de semn) a coordonatelor care modifică orientarea bazei (în spațiul tridimensional de la dreapta la stânga sau invers; o astfel de transformare poate fi, de exemplu, o imagine în oglindă, în cel mai simplu caz, o imagine în oglindă a unei axe de coordonate). [1] Adică, pseudovectorul inversează direcția menținând în același timp valoarea absolută (înmulțită cu „-1”) pentru orice astfel de inversare a sistemului de coordonate.

Pseudovectorul reprezentat grafic cu o astfel de modificare a coordonatelor schimbă direcția în sens opus.

Pentru a sublinia diferența dintre un vector real, ale cărui coordonate sunt întotdeauna transformate în același mod ca și coordonatele unui vector de deplasare, un vector real se numește vector adevărat sau polar .

Cel mai simplu exemplu de vector axial în spațiul tridimensional este produsul încrucișat a doi vectori polari, de exemplu, în mecanică  - momentul impulsului și momentul forței , în spațiul cu patru dimensiuni  - curent axial .

În cadrul algebrei externe , un pseudovector este reprezentat de un vector (n-1) într-un spațiu n-dimensional. Un vector (n-1) simplu din punct de vedere geometric este un subspațiu orientat perpendicular pe o anumită axă. Astfel, în spațiul tridimensional, un pseudovector este un bivector , care la rândul său poate fi reprezentat ca un plan orientat.

Informații de bază

La transformarea coordonatelor, coordonatele vectorului axial sunt înmulțite cu un factor suplimentar (-1) în comparație cu transformarea de coordonate a vectorilor adevărați (numiți altfel polari), dacă baza își schimbă orientarea (de exemplu, dacă baza este supusă la oglindă). reflecţie). Astfel, vectorul axial, ca și pseudoscalarul , este un caz special al pseudotensorului . Pseudovectorul reprezentat grafic cu o astfel de modificare a coordonatelor schimbă direcția în sens opus.

• În geometrie, cea mai comună utilizare a unui pseudovector poate fi reprezentarea unei rotații infinitezimale tridimensionale cu ajutorul acestuia . Probabil (?), termenul de vector axial provine tocmai de aici, deoarece pseudovectorul determină axa de rotație (direcția acesteia), dar numai până la un factor (±1), cu direcția de rotație este asociată cu o alegere arbitrară condiționată. a bazei corecte din punct de vedere al matematicii. [2] Spre deosebire de vectorul adevărat (polar), care reprezintă un segment direcționat (sau translație paralelă ) dat în mod clar și fără ambiguitate de punctele de început și de sfârșit.
• În mecanică - în cinematică - în legătură directă cu reprezentarea mai sus menționată a unei rotații infinitezimale - cea mai comună mărime pseudo-vectorală este vectorul viteză unghiulară . Vectorul viteză adevărată este obținut din pseudovectorul viteză unghiulară printr -o operație pseudovectorală . În statică și dinamică, acestea sunt, în primul rând, momentele de forță și momentul impulsului menționate mai sus.

Modul obișnuit de a genera pseudo-vectori este operațiile pseudo-vectorale, cea mai comună, dacă nu singura folosită în cazul tridimensional, este produsul vectorial (deoarece include pseudotensorul Levi-Civita în notația uzuală de coordonate ) şi operaţii care conţin produsul vectorial (de exemplu, rotorul etc.) n.) [3] sau un număr impar al acestora. Operația pseudovector generează pseudovectori și pseudoscalari din vectori și scalari adevărați.

Deci, la înmulțirea unui vector adevărat cu un vector adevărat, se obține un scalar adevărat în produsul scalar și un pseudovector în produsul vectorial. La înmulțirea unui vector adevărat cu un pseudovector, se obține un pseudoscalar în produsul scalar și un vector adevărat în produsul vectorial. La înmulțirea a doi pseudovectori, se obține un scalar adevărat, respectiv, în produsul scalar, și un pseudovector în produsul vectorial.

În teoriile fizice, cu excepția celor în care există o încălcare explicită și, în principiu, observabilă a simetriei în oglindă a spațiului, pseudovectorii pot fi prezenți în valori intermediare, dar în cele finite, observabile, factorii (-1) în cazul reflexiilor în oglindă de coordonate trebuie distruse, care apar în produse de număr par de ori (un număr par de pseudovector + pseudoscalar + alți factori pseudotensori).

• De exemplu, în electrodinamica clasică , inducția câmpului magnetic  este un pseudovector, deoarece este generată de o operație pseudovectorală, de exemplu, în legea Biot-Savart , dar această valoare în sine (pseudovector) este definită în principiu până la un factor condiționat. , care poate fi ales +1 sau -1. Cu toate acestea, valoarea reală observată - accelerația unei sarcini sub influența unui câmp magnetic - în calculul său conține încă o operație pseudovectorală în expresia forței Lorentz , care dă încă un factor condiționat ±1, egal cu primul. , în timp ce arbitrariul dispare în răspuns, deoarece produsul ±1 ( ±1) dă doar 1.

Vezi și

• Simetrie
• Scalar

Note

1. ↑ Vorbim despre transformarea vectorilor de bază cu o matrice de transformare care are un determinant negativ. Acesta este un punct important pentru înțelegerea esenței materiei, deoarece, de exemplu, atunci când semnul tuturor coordonatelor este schimbat, transformarea este echivalentă cu o rotație (cu 180 °) și nu schimbă orientarea bazei, respectiv , iar pseudovectorul cu o astfel de transformare de coordonate va fi transformat în același mod ca un vector adevărat, nu își va schimba semnul față de el.
2. ↑ Înseamnă că din punct de vedere al matematicii, baza dreaptă nu se poate distinge de cea stângă (în timp ce din punct de vedere al fizicii se pot găsi diferențe în lumea fizică reală - totuși, din punct de vedere matematic, aceasta lumea fizică reală nu este evidențiată în raport cu ipotetica anti-lume cu o reflexie în oglindă, astfel încât, dacă una ar fi înlocuită cu alta, pur și simplu nu am observa nimic. Același lucru este valabil și pentru legarea bazei corecte de asimetria biologică (inima este de stânga la majoritatea oamenilor, majoritatea sunt dreptaci etc. Astfel, punctul de vedere matematic se reduce la faptul că inițial evidențiem o anumită bază, așa cum ar fi, în mod arbitrar, numind-o condiționat drept, și apoi toate alte baze pot fi clasificate în dreapta și stânga în raport cu acesta.
3. ↑ În unele cazuri, unele dintre definițiile unor astfel de operații pot conține implicit operația de produs vectorial, dar prezența sa formală este de obicei ușor de detectat atunci când este reformulată. Și, desigur, este posibil să-i arăți natura pseudo-vectorală în mod direct, fără a implica conceptul de produs vectorial.