Statistica Maxwell-Boltzmann

Statistica Maxwell-Boltzmann este o metodă statistică de descriere a sistemelor fizice care conțin un număr mare de particule care nu interacționează care se mișcă conform legilor mecanicii clasice (adică un gaz ideal clasic ); propusă în 1871 de fizicianul austriac L. Boltzmann .

Ieșire de distribuție

Distribuția Maxwell-Boltzmann poate fi derivată din distribuția generală Gibbs . Luați în considerare un sistem de particule într-un câmp uniform. Într-un astfel de câmp, fiecare moleculă a unui gaz ideal are o energie totală

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

unde este energia cinetică a mișcării sale de translație și este energia potențială într-un câmp extern, care depinde de poziția sa. $\varepsilon _{kin}$ $u$

Înlocuirea acestei expresii pentru energie în distribuția Gibbs pentru o moleculă de gaz ideal

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(unde este probabilitatea ca particula să fie într-o stare cu valori de coordonate și momente , în intervalul ), avem: $\mathrm {d} w$ $q$ $p$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)} \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

unde integrala stărilor este:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Integrarea se realizează peste toate valorile posibile ale variabilelor. Constanta Planck , este constanta Boltzmann , este temperatura, . În plus, integrala stărilor poate fi scrisă sub forma: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\dreapta)\mathrm {d} V.

Prin urmare, distribuția Gibbs normalizată la unitate pentru o moleculă de gaz în prezența unui câmp extern are forma:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Distribuția de probabilitate rezultată, care caracterizează probabilitatea ca o moleculă să aibă un impuls într-un interval dat și să se afle într-un element de volum dat, se numește distribuție Maxwell-Boltzmann .

Unele proprietăți

Când luăm în considerare distribuția Maxwell-Boltzmann, o proprietate importantă este izbitoare - poate fi reprezentată ca un produs al doi factori:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ dreapta].

Primul factor nu este altceva decât distribuția Maxwell , el caracterizează distribuția probabilității pe impulsuri. Al doilea factor depinde doar de coordonatele particulelor și este determinat de tipul de energie potențială; caracterizează probabilitatea de a găsi o particulă în volumul d . $V$

Conform teoriei probabilităților , distribuția Maxwell-Boltzmann poate fi considerată ca produsul dintre probabilitățile a două evenimente independente - realizarea valorii impulsului într-un interval dat „impuls” și realizarea poziției unei molecule într-un anumit „ interval de coordonate". Primul:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

este distribuția Maxwell; a doua șansă:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT)}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

este distribuția Boltzmann. Evident, fiecare dintre ele este normalizat la unitate.

Distribuția Boltzmann este un caz special al distribuției Gibbs canonice pentru un gaz ideal într-un câmp potențial extern, deoarece în absența interacțiunii între particule, distribuția Gibbs se descompune în produsul distribuțiilor Boltzmann pentru particule individuale.

Independența probabilităților dă un rezultat important: probabilitatea unei valori date a impulsului este complet independentă de poziția moleculei și, invers, probabilitatea poziției moleculei nu depinde de impulsul acesteia. Aceasta înseamnă că distribuția de impuls (viteza) a particulelor nu depinde de câmp, cu alte cuvinte, rămâne aceeași de la un punct la altul în spațiul în care este închis gazul. Se modifică doar probabilitatea detectării unei particule sau, echivalent, numărul de particule.

Vezi și

Bibliografie

Carter, Ashley H., „Termodinamică clasică și statistică”, Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , „Mecanica statistică”, Butterworth-Heinemann, 1996.