Distribuția Maxwell

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 august 2021; verificările necesită 5 modificări .

Distribuția Maxwell este denumirea generală pentru mai multe distribuții de probabilitate care descriu comportamentul statistic al parametrilor particulelor de gaz ideal . Forma funcției de densitate de probabilitate corespunzătoare este dictată de ce cantitate: viteza particulei , proiecția vitezei, modulul vitezei, energia , impulsul etc. - acționează ca o variabilă aleatoare continuă . În unele cazuri, distribuția Maxwell poate fi exprimată ca o distribuție discretă pe un set de niveluri de energie.

Cea mai semnificativă distribuție Maxwell este scrisă pentru modulul vitezei particulelor în cazul continuu și are densitatea: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

și

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

unde este o variabilă formală, factorul este determinat de tipul de particule și temperatură, iar factorul este selectat în funcție de pentru a asigura normalizarea. Această expresie este considerată distribuția Maxwelliană în matematică, deși pentru alți parametri de particule forma analitică a distribuției Maxwelliană va fi diferită. $X$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

Distribuția Maxwell stă la baza teoriei cinetice a gazelor , explicând multe dintre proprietățile fundamentale ale gazelor, inclusiv presiunea și difuzia . Este folosit pentru a calcula vitezele și energiile medii și cele mai probabile ale moleculelor de gaz. Este, de asemenea, aplicabil la descrierea proceselor de transport electronic și a altor fenomene din fizică și chimie . Distribuția Maxwell poate fi obținută folosind mecanica statistică (vezi originea funcției de partiție ). Această distribuție este cea mai mare distribuție de probabilitate a parametrului studiat.

Domeniul de aplicare al distribuției Maxwell

Cerințe pentru sistemul descris, exemple

Întrebarea privind aplicabilitatea distribuției Maxwell la un anumit sistem este echivalentă cu întrebarea dacă acest sistem poate fi considerat un gaz ideal cu suficientă precizie. În același timp, sistemul trebuie

consta dintr-un număr mare de particule și se află în echilibru termodinamic ;
fi izotrop ;
fie clasic , adică efectele relativiste și cuantice trebuie să fie mici;
să fie dominată de coliziuni (interacțiunea particulelor este permisă numai dacă depinde doar de poziția relativă a particulelor, în special, sunt permise ciocniri absolut elastice).

Un astfel de set de cerințe este satisfăcut în primul rând în gaze, cum ar fi aerul, în condiții normale. Distribuția Maxwell se aplică unei varietăți de proprietăți ale moleculelor individuale dintr-un gaz. De obicei, este considerată în primul rând distribuția de energie a moleculelor dintr-un gaz, dar poate fi aplicată la distribuția vitezelor și a altor parametri moleculari. Cel mai adesea, este o distribuție continuă de-a lungul unui continuum a unei modificări a unui parametru aleatoriu.

În multe cazuri însă, condiția pentru dominarea ciocnirilor elastice asupra tuturor celorlalte procese nu este îndeplinită nici măcar aproximativ. Deci, în fizica ionosferei și a plasmei spațiale , procesele de recombinare și excitație colizională (adică procesele radiative), în special pentru electroni, sunt de mare importanță. Utilizarea distribuției Maxwell în acest caz nu ar da numai rezultate incorecte cantitativ, ci ar duce și la o interpretare incorectă calitativ a proceselor corespunzătoare.

Condiții de considerație clasică

În cazurile în care lungimea de undă cuantică de Broglie a particulelor de gaz nu este mică în comparație cu distanța dintre particule, există abateri de la distribuția Maxwell din cauza efectelor cuantice. Prin urmare, problema limitelor de aplicabilitate a considerației clasice este importantă.

Relația de incertitudine (deseori simplificată scrisă sub forma în care sunt incertitudinile coordonatei și proiecția impulsului, este constanta lui Planck ) are un analog tridimensional al formei unde denotă dimensiunea liniară caracteristică a zonei de localizare a particulelor. . Pentru ca incertitudinile în coordonate și impuls să nu joace un rol și să se poată aplica mecanica clasică, mai degrabă decât cuantică , relația trebuie satisfăcută: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $X$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

unde este volumul, care reprezintă în medie o particulă, egal cu concentrația reciprocă a particulelor de gaz. Dacă pătrați ambele părți, obțineți: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Ținând cont de asta și luând cantitatea ca valoare energetică caracteristică , ajungem la: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( este temperatura de degenerare și este masa particulei).

T_{grade)

m

La temperaturi sub distribuția Maxwell nu este aplicabilă. $T_{grade)$

Distribuția de stat a lui Maxwell

Distribuția Maxwell poate fi scrisă ca o distribuție discretă peste setul de stări ale moleculei, numerotate cu simbolul : $i$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}

Energia unei molecule în a treia stare și, respectiv, numărul de astfel de molecule sunt notate cu și , este temperatura sistemului, este numărul total de molecule din sistem și este constanta Boltzmann . (Se întâmplă ca ecuația de mai sus să fie scrisă cu un factor care indică gradul de degenerare a nivelurilor energetice. În acest caz, ea enumerează nu stările, ci energiile, iar suma va fi în funcție de energii, și nu după Statele). Deoarece viteza este legată de energie, ultima ecuație poate fi folosită pentru a deriva relația dintre temperatură și vitezele moleculelor dintr-un gaz. Numitorul este cunoscut ca funcția de partiție canonică . $E_{i}$ $N_{i}$ $i$ $T$ $N$ $k$ $g_i$ $i$

Varietăți ale distribuției continue Maxwell

Derivarea distribuțiilor lui Maxwell prezentate în această secțiune, care este firească pentru literatura educațională modernă, diferă de derivarea propusă de James Clerk Maxwell însuși și descrisă mai târziu cu mai puține presupuneri de Ludwig Boltzmann . Concluzia istorică va fi dată la sfârșitul articolului.

Distribuția vectorului de impuls

În cazul unui gaz ideal de molecule care nu interacționează, toată energia este sub formă de energie cinetică. Energia cinetică este legată de impulsul particulei ca:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

unde este pătratul vectorului moment , atunci $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

unde este funcția de partiție corespunzătoare numitorului expresiei pentru din secțiunea anterioară și este masa moleculei. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Dacă nivelurile de energie sunt suficient de dense, faptul discretității devine neimportant și putem presupune că energiile sunt distribuite continuu. Atunci raportul este proporțional cu funcția de densitate de probabilitate a moleculei într-o stare cu aceste valori ale componentelor impulsului. În acest fel: $N_{i}/N$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_ {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Constanta este determinată din condiția de normalizare, conform căreia probabilitatea ca moleculele să aibă orice moment trebuie să fie egală cu unu. Prin urmare, integrala peste toate valorile și trebuie să fie egală cu unitatea. Se poate arăta că $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ $p_{x}\,,p_{y)$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\right)^{3/2}

Astfel, pentru ca integrala să aibă valoarea 1, este necesar ca

C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT}})^{3)}}

Înlocuind aceasta în ecuație pentru și folosind faptul că , obținem: $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ $p_{i}=mv_{i)$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT)}\dreapta )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \dreapta]

Distribuție vectorială viteză

Ținând cont de faptul că densitatea distribuției vitezei este proporțională cu densitatea distribuției impulsului: ${\displaystyle f_{\mathbf {v} ))$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

și folosind , obținem: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT)}\dreapta )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\dreapta]

care este distribuția Maxwell pe trei proiecții carteziene de viteză. Probabilitatea de a găsi o particulă într-un element infinitezimal în apropierea vitezei este: $dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z)$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{\mathbf {v}}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z)

Distribuția proiecției vitezei

Distribuția Maxwell pentru vectorul viteză este produsul distribuțiilor pentru fiecare dintre cele trei direcții: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

unde distribuția într-o direcție:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT)}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)} {2kT}}\dreapta]

Această distribuție are forma unei distribuții normale . După cum ne-am aștepta pentru un gaz în repaus, viteza medie în orice direcție este zero.

Distribuție modulo impuls

Prin integrare, putem găsi distribuția pe mărimea absolută a impulsului:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\right].

Distribuția energiei

În final, folosind relațiile și , obținem distribuția energiei cinetice: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right].

Viteza modulo de distribuție

De obicei, distribuția asupra valorii absolute este mai interesantă decât asupra proiecțiilor vitezelor moleculelor. Modulul de viteză, definit ca $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

este întotdeauna non-negativ. Deoarece totul este distribuit în mod normal , va exista o distribuție chi-pătrat cu trei grade de libertate. Dacă este o funcție de densitate de probabilitate pentru modulul de viteză, atunci $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

unde . Astfel, funcția de densitate de probabilitate pentru modulul de viteză este $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT)}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

Forma funcției corespunde celei date în preambul, cu diferența că o variabilă formală este folosită acolo de dragul unei mai mari generalități matematice. $f(v)$ $X$

Vitezele caracteristice ale moleculelor de gaze ideale

Ecuația pentru dă distribuția vitezei sau, cu alte cuvinte, proporția de molecule care au o viteză specifică. Dar alte cantități sunt adesea mai interesante. Mai jos vor fi determinate cele mai probabile viteze , medii și rms . $f(v)dv$

Cel mai probabil viteza

Cea mai probabilă viteză , , este viteza, probabilitatea căreia orice moleculă a sistemului are maxim și care corespunde valorii maxime a densității de probabilitate a distribuției (și deci corespunde modului acestei distribuții). Pentru a-l găsi, trebuie să calculați , să echivalați cu zero și să rezolvați pentru : $v_p$ $f(v)$ $df/dv$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\right)\left[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\right]=0

v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m)}}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))}

unde este masa particulei luate în considerare, este masa molară a . $m$ $\mu$

Viteza medie

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Înlocuind și integrând, obținem $f(v)$

\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m)}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))}

Viteza RMS

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Înlocuind și integrând, obținem: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Derivarea istorică a distribuției Maxwell

Să obținem acum formula de distribuție în același mod ca și Maxwell însuși [1] [2] .

Luați în considerare spațiul punctelor de viteză (reprezentăm fiecare viteză a moleculei ca un punct (punct de viteză) în sistemul de coordonate în starea staționară a gazului. Să alegem un element de volum infinitezimal . Deoarece gazul este staționar, numărul de punctele de viteză în rămâne neschimbate în timp. Spațiul de viteză este izotrop , prin urmare funcțiile densitățile de probabilitate pentru toate direcțiile sunt aceleași. $Ov_{x}v_{y}v_{z)$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell a sugerat că distribuțiile vitezelor în direcții sunt independente statistic, adică componenta de viteză a moleculei nu depinde de componentele - și -. $v_{x)$ $y$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- de fapt, probabilitatea de a găsi un punct de mare viteză în volum .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi „(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

Partea dreaptă nu depinde de și , prin urmare partea stângă nu depinde de și nici. Cu toate acestea, și sunt egale, prin urmare partea stângă nu depinde de . Deci această expresie poate fi egală doar cu o constantă. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x)

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Acum trebuie să faceți un pas fundamental - introduceți temperatura. Definiția cinetică a temperaturii (ca măsură a energiei cinetice medii a mișcării moleculelor):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

unde J/K este constanta lui Boltzmann . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

Având în vedere egalitatea tuturor direcțiilor:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

Pentru a găsi valoarea medie , o integrăm împreună cu funcția de densitate de probabilitate de la minus la plus infinit: $v_{x}^{2)$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

De aici găsim : $\alfa$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Funcția de distribuție a densității de probabilitate pentru (pentru și similar): $v_{x)$ $v_{y)$ $v_{z}$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Acum să luăm în considerare distribuția vitezei. Să revenim la spațiul punctelor de viteză. Toate punctele cu modul de viteză se află într-un strat sferic de rază și grosime și este volumul unui element al acestui strat sferic. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\stanga({\frac {m}{2\pi kT))\dreapta )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\underbrace {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Astfel, am obținut funcția de densitate de probabilitate , care este distribuția Maxwell. $F(v)$

Vezi și

Note

↑ predare. Karavaev V. A. - Fizica moleculară - Cazuri limitative ale distribuției binomiale (26 iulie 2017). Preluat: 3 martie 2019. (nedefinit)
↑ predare. Karavaev V. A. - Fizica moleculară - distribuția Maxwell (26 iulie 2017). Preluat: 3 martie 2019. (nedefinit)

Link -uri

http://www.falstad.com/gas/