Nascut aproximare

Aproximația Born în teoria împrăștierii este aplicată pentru a calcula împrăștierea particulelor cuantice din primul ordin al teoriei perturbațiilor .

Criteriul de aplicabilitate al aproximării Born este, în consecință, criteriul de aplicabilitate al teoriei perturbațiilor. Deci, pentru împrăștierea unei particule de masă de către un potențial care acționează la distanță , aproximarea este cu siguranță aplicabilă dacă energia potențială este mult mai mică decât energia punctului zero , adică. . Dacă nu este mică în comparație cu , atunci aproximarea devine aplicabilă pentru o particulă suficient de rapidă, pentru care frecvența caracteristică de a fi în câmpul potențial este mult mai mare decât potențialul în sine, adică. când , unde este lungimea de undă de Broglie a particulei. $m\$ $V\$ $A\$ $E_{0}\$ $V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\$ $V\$ $E_{0}\$ $V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\$ $\lambda\$

Pentru secțiunea transversală de împrăștiere diferențială (secțiunea transversală în elementul unghiular solid ) a unei particule cu o modificare a impulsului în aproximarea Born, se obține: $d\Omega$ $\hbar {\vec {q}}\$

d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e ^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,

unde este masa redusă . $\mu$

Acest rezultat se obține cel mai ușor din probabilitatea de tranziție în spectrul continuu al undelor plane :

w_{{p'p))={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{{p'p}}\right|^{2}\delta (E_{{p'}} -E_{p})d\nu _{{p'}}

unde este densitatea stărilor finale. Înlocuind energia unei particule libere , calculând elementul de matrice al potențialului în baza undei plane și integrând asupra impulsului stării (finale) împrăștiate , ajungem imediat la formula Born. $\nu _{{p'}}\$ $E_{p}=p^{2}/(2m)\$ $\psi _{({\vec {p))))({\vec {r)))=e^{{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }}\$ $p'\$

Amplitudinea de împrăștiere în aproximarea Born este reală și are forma:

f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\ vec{r}}}d^{3}r.

Astfel, în aproximarea Born, amplitudinea de împrăștiere este transformata Fourier a potențialului de împrăștiere. Realitatea amplitudinii de împrăștiere înseamnă micimea argumentului său, adică faza de împrăștiere . În aproximarea Born, fazele de împrăștiere printr-un potențial simetric central în stări cu moment unghiular , au forma: $\hbar {\sqrt {l(l+1)))$

\delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{{l+{\frac {1}{2))))(qr))^{ 2}rdr,

unde este funcţia Bessel . $J_{{l+{\frac {1}{2}}}}(qr)$

Literatură

Davydov A. S. Mecanica cuantică. — M .: Nauka, 1973. — 704 p.
Prohorov A. M. (ed.). Enciclopedie fizică . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .