Teoria perturbației

Teoria perturbației este o metodă de rezolvare aproximativă a problemelor de fizică teoretică , aplicabilă în cazul în care problema conține un parametru mic , iar dacă acest parametru este neglijat, problema are o soluție exactă.

Mărimile fizice calculate prin teoria perturbațiilor au forma seriei

A=A^{{(0)}}+\varepsilon A^{{(1)}}+\varepsilon ^{2}A^{{(2)}}+...

unde este soluția problemei neperturbate și este un parametru mic. Coeficienții se găsesc prin aproximări succesive, adică se exprimă prin . Aplicat la mecanica cerească , mecanica cuantică , teoria cuantică a câmpurilor etc. $A^{{(0)}}$ $\varepsilon$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(0)}},...,A^{{(n-1)}}$

În mecanica cerească

Din punct de vedere istoric, prima disciplină în care a fost dezvoltată teoria perturbațiilor a fost mecanica cerească. Problema găsirii mișcării planetelor sistemului solar este problema corpurilor $N$ , care, spre deosebire de problema a două corpuri , nu are o soluție analitică exactă. Soluția sa este însă facilitată de faptul că, datorită masei mici a planetelor, atracția planetelor între ele este mult mai slabă decât atracția lor față de Soare. Neglijând masele planetelor, problema se reduce la probleme independente cu două corpuri, care sunt rezolvate exact; fiecare planetă se mișcă în câmpul gravitațional al Soarelui pe o orbită eliptică conform legilor lui Kepler . Aceasta este soluția la problema neperturbată sau aproximarea zero . Forțele de pe alte planete distorsionează sau perturbă aceste orbite eliptice. Următoarea metodă este utilizată pentru a calcula traiectoria planetei, ținând cont de perturbații. $N-1$

Poziția planetei în spațiu și viteza acesteia pot fi stabilite folosind șase mărimi (după numărul de grade de libertate ): semiaxa majoră și excentricitatea orbitei, înclinarea orbitei sale față de planul ecliptic, longitudinea a nodului ascendent , argumentul periapsis și momentul trecerii prin periheliu. Aceste mărimi (le notăm pentru simplitate ) se compară favorabil cu coordonatele carteziene și componentele vitezei, deoarece sunt constante pentru mișcarea neperturbată: $a_{i}$

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}={{\rm {const}}},

prin urmare , ecuațiile de mișcare ale planetei scrise în termenii lor conțin un mic parametru în partea dreaptă:

{\frac {da_{i}}{dt}}=\varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)\qquad \qquad (*)

Având în vedere acest lucru, este convenabil să se rezolve ecuațiile de mișcare prin metoda aproximărilor succesive. În prima aproximare, înlocuim în partea dreaptă a soluției ecuației neperturbate și găsim:

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}+\varepsilon a_{i}^{{(1)}}(t)=a_{i}^{{(0)} }+\varepsilon \int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{{(0)}},\tau )d\tau .

Pentru a găsi a doua aproximare, înlocuim soluția găsită în partea dreaptă (*) și rezolvăm ecuațiile rezultate etc.

În mecanica cuantică

Teoria perturbației în mecanica cuantică se aplică atunci când Hamiltonianul sistemului poate fi reprezentat sub forma

H=H^{{(0)}}+V

unde este Hamiltonianul neperturbat (mai mult, soluția ecuației Schrödinger corespunzătoare este cunoscută exact) și este o mică adunare ( perturbație ). $H^{{(0)}}$ $V$

Teoria perturbației staționare

Problema este de a găsi funcțiile proprii ale Hamiltonianului ( stări staționare ) și nivelurile de energie corespunzătoare. Vom căuta soluții la ecuația Schrödinger pentru sistemul nostru

H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle \qquad \qquad (**)

sub forma unei extinderi de serie

\psi _{n}=\psi _{n}^{{(0)}}+\psi _{n}^{{(1)}}+\psi _{n}^{{(2)} }+...

E_{n}=E_{n}^{{(0)}}+E_{n}^{{(1)}}+E_{n}^{{(2)}}+...\qquad \ qquad (***)

unde și sunt funcțiile de undă și nivelurile de energie ale problemei neperturbate $\psi _{n}^{{(0)}}$ $E_{n}^{{(0)}}$

H^{{(0)}}|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =E_{n}^{{(0)}}|\psi _{n}^{{( 0)}}\rangle ,

iar numărul enumerează nivelurile de energie. $n$

Înlocuind (***) în (**), până la termeni de ordinul întâi în perturbare, obținem

(V-E_{n}^{{(1)}})|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =(E_{n}^{{(0)}}-H^ {{(0)}})|\psi _{n}^{{(1)}}\rangle

Înmulțind de la stânga cu , și ținând cont de funcțiile proprii ( ortonormale ) ale hamiltonianului neperturbat, obținem $\psi _{m}^{{(0)}}$ $\psi _{m}^{{(0)}}$

E_{n}^{{(1)}}=V_{{nn}}

\psi _{n}^{{(1)}}=\sum _{{m\neq n}}{\frac {V_{{mn}}}{E_{n}^{{(0))) -E_{m}^{{(0)}}}}\psi _{m}^{{(0)}},

unde sunt elementele matricei ale perturbaţiei. $V_{{mn}}\equiv \langle \psi _{m}^{{(0)}}|V|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle$

Procedura de mai sus funcționează dacă nivelul neperturbat este nedegenerat . În caz contrar, pentru a găsi corecțiile de ordinul întâi, este necesar să se rezolve ecuația seculară . $E_{n}^{{(0)}}$

Corecțiile comenzilor următoare se găsesc într-un mod similar, deși formulele devin mult mai complicate.

Teoria perturbației non-staționare

În teoria câmpului cuantic

Majoritatea calculelor în teoria cuantică a câmpului, în special în electrodinamica cuantică (QED), sunt efectuate și în termeni de teoria perturbațiilor. Soluția neperturbată este câmpurile libere , iar parametrul mic este constanta de interacțiune (în electrodinamică, constanta structurii fine ). Diagramele Feynman sunt folosite pentru a reprezenta termenii seriei teoriei perturbațiilor într-o formă vizuală . $\alpha =1/137$

În zilele noastre, multe calcule în QED nu sunt limitate la primul sau al doilea ordin al teoriei perturbațiilor. Deci, momentul magnetic anormal al unui electron este în prezent (2015) calculat până la ordinul 5 conform [1] . $\alfa$

Cu toate acestea, există o teoremă conform căreia seria de perturbații din QED nu este convergentă, ci doar asimptotică . Aceasta înseamnă că, pornind de la o anumită (în practică, o ordine foarte mare) a teoriei perturbațiilor, acordul dintre soluția aproximativă și cea exactă nu se va mai îmbunătăți, ci se va înrăutăți [2] .

Exemple de inaplicabilitate a teoriei perturbațiilor

În ciuda aparentei sale universalități, metoda teoriei perturbațiilor nu funcționează într-o anumită clasă de probleme. Exemple sunt efectele instanton într-o serie de probleme din mecanica cuantică și teoria cuantică a câmpurilor. Contribuțiile instanton au singularități esențiale la punctul de expansiune. Un exemplu tipic de contribuție instanton are forma:

T_{{inst}}=A\exp(-1/g)

, unde este un parametru mic.

g

Această funcție este non-analitică în punctul , și, prin urmare, nu poate fi extinsă în seria Maclaurin în . $g = 0$ $g$

Note

↑ E. de Rafael. Actualizare a factorilor g de electroni și muoni // [https://web.archive.org/web/20220120021627/http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 Arhivat 20 ianuarie 2022 la Wayback Machine arXiv: 1210.4705 [hep-ph]]
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Electrodinamică cuantică. - M . : Nauka, 1981. - S. 210-212.

Literatură

Enciclopedia fizică / A.M. Prohorov (redactor-șef). - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 1988-99.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Mesia A. Mecanica cuantică: Per. din fr. - V.2, 1979. - 584 p.
J. Zinn-Justin şi UD Jentschura. Multi-Instantons și rezultate exacte I: Conjecturi, extinderi WKB și interacțiuni instant // Ann. Fiz. - 2004. - Vol. 313. - P. 197-267.
J. Zinn-Justin şi UD Jentschura. Multi-Instantons și rezultate exacte II: cazuri specifice, efecte de ordin superior și calcule numerice // Ann. Fiz. - 2004. - Vol. 313. - P. 269-325.
Dzhakalya G. E. O. Metode de teorie a perturbației pentru sisteme neliniare. - M., Nauka, 1979. - 320 p.