Variație rezistentă

Variația Hardy  este una dintre caracteristicile numerice ale unei funcții a mai multor variabile.

Definiție

Să existe o funcție definită pe paralelipiped -dimensional

Luați în considerare o împărțire arbitrară a paralelipipedului prin hiperplane

în paralelipipede -dimensionale.

Luați în considerare clasa tuturor funcțiilor pentru care

Unde

Să fie, acum,  un vector întreg ale cărui coordonate satisfac inegalitățile și  să fie un vector întreg de dimensiune astfel încât coordonatele sale să formeze o succesiune strict crescătoare și să fie formate din toate acele numere care nu sunt conținute printre numere . Apoi fiecare punct poate fi scris ca . Dacă coordonatele punctului sunt fixate pe valori , atunci vom scrie .

Variația funcției Hardy pe :

Dacă , atunci spunem că funcția are o variație Hardy mărginită (finită) pe paralelipiped , iar clasa tuturor acestor funcții se notează cu .

Istorie

Inițial, clasa la a fost introdusă de G. Hardy [1] ( G. N. Hardy ) în legătură cu studiul convergenței serii Fourier duble [2] . El a demonstrat că sumele parțiale dreptunghiulare ale seriei duble Fourier ale unei funcții din clasa ( ) cu o perioadă în fiecare variabilă converg în fiecare punct către numărul

Unde

Pentru ca o funcție să fie inclusă în clasă , este necesar și suficient ca aceasta să poată fi reprezentată ca , unde și sunt funcții finite astfel încât , pentru toate și incrementele admisibile . Clasa este conținută în clasa de funcții care au o variație Artzel restricționată pe .

Literatură

Vezi și

Note

  1. Hardy G. H. The Quarterly Journal of Mathematics. - 1905. - v. 37. - Nr. 1. - str. 57-79.
  2. Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. - Bd 1. - V .: Springer, 1921.