Variație rezistentă

Variația Hardy este una dintre caracteristicile numerice ale unei funcții a mai multor variabile.

Definiție

Să existe o funcție definită pe paralelipiped -dimensional $f(x)=f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\;n=2,\;3,\;\ldots$ $n$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\; b_{n}].

Luați în considerare o împărțire arbitrară a paralelipipedului prin hiperplane $\pi$

x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s} ;\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,

x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s} ,\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+ 1)}-x_{s}^{(r_{s})}

în paralelipipede -dimensionale. $n$

Luați în considerare clasa tuturor funcțiilor pentru care ${\tilde {H}}_{n}$

{\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2} =0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{ 1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1}) },\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,

Unde

\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{ 2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;

\Delta _{h_{k}}(f;\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k} ,\;\ldots ,\;x_{n})-

-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{k},\;\ldots,\;x_{n}),\quad \;k=1 ,\;2,\;\ldots ,\;n.

Să fie, acum, un vector întreg ale cărui coordonate satisfac inegalitățile și să fie un vector întreg de dimensiune astfel încât coordonatele sale să formeze o succesiune strict crescătoare și să fie formate din toate acele numere care nu sunt conținute printre numere . Apoi fiecare punct poate fi scris ca . Dacă coordonatele punctului sunt fixate pe valori , atunci vom scrie . $\alpha =(\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots,\;\alpha _{s}),\;s=1,\;2,\; \ldots ,\;n-1$ $1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n$ ${\bar {\alpha })$ $ns$ $1,\;2,\ldots ,\;n$ $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots,\;\alpha _{s)$ $x\in D_{n)$ $x=(x^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha )))$ $x_{\alpha _{1)),\;x_{\alpha _{2)),\;\ldots ,\;x_{\alpha _{s))$ $x\in D_{n)$ ${\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{1)),\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{2)),\;\ ldots ,\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}$ $x=({\overset {\circ {x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$

Variația funcției Hardy pe : $f(x)$ $D_{n}$

H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _({\overset {\circ } {x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{ns}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x ^{\bar {\alpha )))\dreapta).

Dacă , atunci spunem că funcția are o variație Hardy mărginită (finită) pe paralelipiped , iar clasa tuturor acestor funcții se notează cu . $H(f,\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $H(D_{n})$

Istorie

Inițial, clasa la a fost introdusă de G. Hardy [1] ( G. N. Hardy ) în legătură cu studiul convergenței serii Fourier duble [2] . El a demonstrat că sumele parțiale dreptunghiulare ale seriei duble Fourier ale unei funcții din clasa ( ) cu o perioadă în fiecare variabilă converg în fiecare punct către numărul $H(D_{n})$ $n=2$ $f(x_{1},\;x_{2})$ $H(Q_{2})$ $Q_{2}=[0,\;2\pi ]\times [0,\;2\pi ]$ $2\pi$ $(x_{1},\;x_{2})$

{\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}- 0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},

Unde

f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1 }\la +0\\\varepsilon _{2}\la +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{ unu}).

Pentru ca o funcție să fie inclusă în clasă , este necesar și suficient ca aceasta să poată fi reprezentată ca , unde și sunt funcții finite astfel încât , pentru toate și incrementele admisibile . Clasa este conținută în clasa de funcții care au o variație Artzel restricționată pe . $f(x)$ $H(D_{n})$ $f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$ $f_1$ $f_{2}$ $D_{n}$ $\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots ,\; n$ $x\in D_{n)$ $h_{1},\;h_{2},\;\ldots ,\;h_{n)$ $H(D_{n})$ $A(D_{n})$ $D_{n}$

Literatură

Bulanov AP Aproximaţii raţionale ale funcţiilor mai multor variabile cu variaţie Hardy finită // Math. - 1995. - v. 186. - Nr. 11. - p. 53-74.

Vezi și

Variația funcției
Varianta Artzel
Varianta Vitali
Variație Pierpont
Variație plată a lui Tonelli
Varianta Fréchet

Note

↑ Hardy G. H. The Quarterly Journal of Mathematics. - 1905. - v. 37. - Nr. 1. - str. 57-79.
↑ Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. - Bd 1. - V .: Springer, 1921.