Varianta Fréchet

Variația Fréchet este una dintre caracteristicile numerice ale unei funcții a mai multor variabile, care poate fi considerată ca un analog multidimensional al variației unei funcții a unei variabile .

Definiție

Variația Fréchet este definită ca:

F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{{r_{1}=0}}^{{l_{1}-1}}\sum _{{r_{2}=0}}^{{l_{2}-1}}\ldots \sum _{{r_{n}=0}}^{{l_{n}-1}}\varepsilon _{n}^{{(r_{1})}}\varepsilon _{n}^{{(r_ {2})}}\ldots \varepsilon _{n}^{{(r_{n})}}\times \right.

\times \Delta _{{h_{1}^{{(r_{1})}}h_{2}^{{(r_{2})}}\ldots h_{n}^{{(r_{n })}}}}(f;\;x_{1}^{{(r_{1})}},\;x_{2}^{{{(r_{2})}},\;\ldots , \;x_{n}^{{(r_{n})))){\Bigg |},

unde este o funcție cu valoare reală definită pe o casetă -dimensională $f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ $D_{n}$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n }];

$\Pi$ este o partiție arbitrară a paralelipipedului prin hiperplane astfel încât $D_{n}$ $x_{s}=x_{s}^{{(r_{s})}}$

x_{s}^{{(0)}}=a_{s}

, și ,

x_{s}^{{(l_{s})}}=b_{s}

x_{s}^{{(r_{s})}}<x_{s}^{{(r_{s}+1)}}

unde , .

r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}

s=1,\;2,\;\ldots ,\;n

$h_{s}^{{(r_{s})}}=x_{s}^{{(r_{s}+1)}}-x_{s}^{{(r_{s})}}$ - pas de despicare;

$\Delta _{{h_{k}}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k}, \;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n} )$ ( ) este incrementul funcției de-a lungul coordonatei --a; $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $x_k$

$\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}}(f;\;x)=\Delta _{{h_{k}}}(\Delta _{{h_{1} h_{2}\ldots h_{{k-1}}}};\;x)$ este incrementul generalizat al funcției în primele coordonate ( ); $k$ $k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$

$\varepsilon _{k}^{{(r_{k})}}=\pm 1$ ( ) în mod arbitrar. $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

Aplicație

Dacă , atunci se spune că funcția are variație Fréchet mărginită (finită) pe . Clasa tuturor acestor funcții este notată cu . $F(f;\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $F(D_{n})$

Această clasă a fost introdusă de M. Fréchet [1] în legătură cu studiul formei generale a unei funcționale biliniare continue în spațiul funcțiilor formei continue pe un pătrat . El a demonstrat că orice astfel de funcțional poate fi reprezentat în formă $n=2$ $U(\varphi _{1},\varphi _{2})$ $Q_{2}=[a,\;b]\times [a,\;b]$ $\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$

U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}( x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{{x_{l}}}d_{{x_{2}}}u(x_{1},\;x_{2} ),

unde , . $u(x_{1},\;x_{2})\în F(Q_{2})$ $u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0$

Mai târziu s-a arătat că pentru funcțiile -periodice ale clasei ( ) sunt valabile analogii multor criterii clasice pentru convergența seriei Fourier [2] . Deci, de exemplu, dacă , , atunci sumele parțiale dreptunghiulare ale seriei Fourier ale funcției în fiecare punct converg către numărul $2\pi$ $f(Q_{n})$ $Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$ $f(x)\în F(Q_{n})$ $n=2,\;3,\;\ldots$ $f(x)$ $x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$

{\frac {1}{2^{n))}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0 ),

unde însumarea se extinde la toate combinațiile posibile de semne . În plus, dacă funcția este continuă, atunci convergența este uniformă. Acesta este un analog al semnului Iordan . $2^{n}$ $\p.m$

Literatură

Kantorovich, L. V., Akilov, G. P. Analiza funcțională . - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2004. - 816 p. — ISBN 5-94157-597-1 . .

Vezi și

Variația funcției
Varianta Artzel
Varianta Vitali
Variație Pierpont
Variație plată a lui Tonelli
Variație rezistentă

Note

↑ Frechet M. Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1915. - v. 16. - Nr. 3. - str. 215-234.
↑ Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1949. - v. 35. - Nr. 7. - str. 395-399.